Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
integral-1^1 integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2)^32 d y d x

Passo 1

Neste exercício queremos calcular a integral iterada integral-1^1integral0^raiz1-x^2(x^2+y^2)^3/2,dy,dx. O conteúdo é integração dupla sobre uma região semicircular, e vamos usar coordenadas polares para simplificar.

Passo 2

Em coordenadas polares usamos as transformações x=rcostheta, y=rsintheta e o elemento de área vira dA = r,dr,dtheta. Isso é a teoria da mudança de variável em integrais duplas.

Passo 3

A região original é o semicírculo de raio 1 acima do eixo x, dado por x^2+y^2<=1 e y>=0. Em polares isso corresponde a 0<= r<=1 e 0<=theta<=pi.

Passo 4

O integrando (x^2+y^2)^3/2 em polares fica (r^2)^3/2=r^3. Multiplicando pelo jacobiano temos r^3cdot r=r^4. Assim a integral se transforma em
integral0^piintegral0^1 r^4,dr,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em r:
integral0^1r^4,dr = l[r^55r]0^1 = 15
Depois em theta:
integral0^pidtheta = pi
Multiplicando dá 15cdotpi=pi5.

Resposta

pi5

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