Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
Passo 1
Neste exercício queremos calcular a integral iterada
. O conteúdo é integração dupla sobre uma região semicircular, e vamos usar coordenadas polares para simplificar.
Passo 2
Em coordenadas polares usamos as transformações
,
e o elemento de área vira
. Isso é a teoria da mudança de variável em integrais duplas.
Passo 3
A região original é o semicírculo de raio 1 acima do eixo
, dado por
e
. Em polares isso corresponde a
e
.
Passo 4
O integrando
em polares fica
. Multiplicando pelo jacobiano temos
. Assim a integral se transforma em
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Depois em
:
Multiplicando dá
.