(1,5) Calcule as seguintes integrais
integral 2(x-1)(x^2+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de:
integral 2(x - 1)(x^2 + 1) , dx
Aqui, estamos lidando com uma fração racional, que é basicamente um quociente de dois polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em partes mais simples. Queremos escrever:
2(x - 1)(x^2 + 1) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + 1
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por (x - 1)(x^2 + 1):
2 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x - 1)

Passo 4

Vamos expandir os termos do lado direito:
2 = A x^2 + A + Bx(x) - Bx(1) + C(x) - C(1)
2 = A x^2 + A + B x^2 - Bx + Cx - C
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
2 = (A + B) x^2 + (C - B) x + (A - C)

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
  1. A + B = 0 (coeficiente de x^2)
  2. C - B = 0 (coeficiente de x)
  3. A - C = 2 (termo constante)

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação: A = -B
  2. Da segunda equação: C = B
  3. Substituindo A = -B e C = B na terceira equação:
-B - B = 2 Rightarrow -2B = 2 Rightarrow B = -1
  1. Então, A = -(-1) = 1 e C = -1

Passo 7

Agora que encontramos A = 1, B = -1 e C = -1, podemos reescrever a fração original:
2(x - 1)(x^2 + 1) = 1x - 1 + -x - 1x^2 + 1

Passo 8

Vamos separar a fração em duas partes para facilitar a integração:
integral 2(x - 1)(x^2 + 1) , dx = integral 1x - 1 , dx + integral -x - 1x^2 + 1 , dx

Passo 9

Agora, vamos integrar cada parte individualmente.
  1. Primeira integral:
integral 1x - 1 , dx = ln|x - 1| + C1
  1. Segunda integral:
integral -x - 1x^2 + 1 , dx = -12 ln(x^2 + 1) - arctan(x) + C2
Aqui usamos:
  • Para -xx^2 + 1, fazemos uma substituição u = x^2 + 1, resultando em -12 ln(x^2 + 1).
  • Para -1x^2 + 1, sabemos que integral 1x^2 + 1 , dx = arctan(x).

Passo 10

Juntando as duas integrais e combinando as constantes C1 e C2 em uma única constante de integração C, temos:
ln|x - 1| - 12 ln(x^2 + 1) - arctan(x) + C

Resposta

A integral é igual a
ln|x - 1| - 12 ln(x^2 + 1) - arctan(x) + C
onde C é a constante de integração.

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