Calcule as seguintes integrais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de:
Aqui, estamos lidando com uma fração racional, que é basicamente um quociente de dois polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em partes mais simples. Queremos escrever:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Vamos expandir os termos do lado direito:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Passo 6
Vamos resolver o sistema:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Substituindo
e na terceira equação:
- Então,
e
Passo 7
Agora que encontramos
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 8
Vamos separar a fração em duas partes para facilitar a integração:
Passo 9
Agora, vamos integrar cada parte individualmente.
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Aqui usamos:
- Para
, fazemos uma substituição , resultando em . - Para
, sabemos que .
Passo 10
Juntando as duas integrais e combinando as constantes
e
em uma única constante de integração
, temos:
Resposta
A integral é igual a
onde
é a constante de integração.