Diga se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando-as quando verdadeiras, ou dando contra-exemplos quando falsa.
Sendo
uma função contínua, então
, representará a área da região limitada pela
e as retas
e
.
Sendo
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A questão nos diz que temos uma função contínua $ f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R} $ e pergunta se a integral definida $ \int_{a}^{b} f(x) , dx $ representa a área da região limitada pela função $ f $, e pelas retas verticais $ x = a $ e $ x = b $. Vamos ver se essa afirmação é verdadeira ou falsa e entender o porquê.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a integral definida $ \int_{a}^{b} f(x) , dx $. Ela representa a área algébrica entre o gráfico da função $ f(x) $ e o eixo $ x $ no intervalo de $ a $ a $ b $. “Área algébrica” significa que áreas acima do eixo $ x $ são consideradas positivas e abaixo, negativas.
Passo 3
Agora, a afirmação diz que essa integral representa a área da região limitada pela função $ f $ e pelas retas $ x = a $ e $ x = b $. Isso implica que estamos falando de área geométrica, que é sempre não negativa, independentemente de onde a função está em relação ao eixo $ x $.
Passo 4
Vamos considerar um exemplo para ilustrar isso. Imagine que $ f(x) $ é uma função que está completamente abaixo do eixo $ x $ no intervalo
. Nesse caso, a integral $ \int_{a}^{b} f(x) , dx $ será negativa, pois a função está abaixo do eixo $ x $. No entanto, a área geométrica dessa região seria um valor positivo.
Passo 5
Portanto, a integral definida por si só não garante que estamos obtendo uma área positiva, a menos que a função seja não negativa em todo o intervalo. Se a função cruzar o eixo $ x $, teremos partes positivas e negativas que podem se cancelar, não refletindo a verdadeira área geométrica.
Resposta
A afirmação é falsa. A integral $ \int_{a}^{b} f(x) , dx $ representa a área algébrica entre a função $ f $ e o eixo $ x $, podendo ser positiva, negativa ou zero, dependendo de onde a função está em relação ao eixo. Para representar a área geométrica sempre positiva, precisaríamos considerar o valor absoluto da função dentro da integral.