Seja
a região limitada pelas funções
, e as retas
.
Quando a região
, gira em torno do eixo
, produz um sólido
. Encontre o volume deste sólido.
Quando a região
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando uma certa região $ R $ gira em torno do eixo $ x $. A região $ R $ é delimitada pelas funções $ y = \sin x $, $ y = -\sin x $, e pelas retas $ x = 0 $ e $ x = \pi $. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente o método dos discos, que é ótimo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região $ R $. As funções $ y = \sin x $ e $ y = -\sin x $ formam duas curvas simétricas em relação ao eixo $ x $. A interseção dessas curvas entre $ x = 0 $ e $ x = \pi $ cria uma espécie de “lente” simétrica. Quando essa região gira em torno do eixo $ x $, ela forma um sólido simétrico.
Passo 3
Para encontrar o volume desse sólido, usamos o método dos discos. Esse método consiste em cortar o sólido em fatias fininhas perpendicularmente ao eixo de rotação (no caso, o eixo $ x $) e calcular o volume de cada “disco”. A soma de todos esses discos dá o volume total.
Passo 4
A fórmula do volume pelo método dos discos é:
Aqui, $ f(x) $ é a função que define o raio do disco em cada ponto $ x $, e $ [a, b] $ é o intervalo de $ x $ onde a região está definida. No nosso caso, a função que define o raio é $ \sin x $, já que é a distância do eixo $ x $ até a curva $ y = \sin x $.
Passo 5
Então, substituindo na fórmula:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar o volume.
Passo 6
Para resolver a integral $ \int [\sin x]^2 , dx $, usamos uma identidade trigonométrica que facilita a integração:
Assim, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
e
Portanto, a integral completa é:
Resposta
O volume do sólido $ S $ é: