(1,5) Seja R a região limitada pelas funções y=sen x, y=-sen x, e as retas x=0 e x=pi.
Quando a região R, gira em torno do eixo x, produz um sólido S. Encontre o volume deste sólido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando uma certa região $ R $ gira em torno do eixo $ x $. A região $ R $ é delimitada pelas funções $ y = \sin x $, $ y = -\sin x $, e pelas retas $ x = 0 $ e $ x = \pi $. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente o método dos discos, que é ótimo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região $ R $. As funções $ y = \sin x $ e $ y = -\sin x $ formam duas curvas simétricas em relação ao eixo $ x $. A interseção dessas curvas entre $ x = 0 $ e $ x = \pi $ cria uma espécie de “lente” simétrica. Quando essa região gira em torno do eixo $ x $, ela forma um sólido simétrico.

Passo 3

Para encontrar o volume desse sólido, usamos o método dos discos. Esse método consiste em cortar o sólido em fatias fininhas perpendicularmente ao eixo de rotação (no caso, o eixo $ x $) e calcular o volume de cada “disco”. A soma de todos esses discos dá o volume total.

Passo 4

A fórmula do volume pelo método dos discos é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Aqui, $ f(x) $ é a função que define o raio do disco em cada ponto $ x $, e $ [a, b] $ é o intervalo de $ x $ onde a região está definida. No nosso caso, a função que define o raio é $ \sin x $, já que é a distância do eixo $ x $ até a curva $ y = \sin x $.

Passo 5

Então, substituindo na fórmula:
V = pi integral0^pi [sin x]^2 , dx
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar o volume.

Passo 6

Para resolver a integral $ \int [\sin x]^2 , dx $, usamos uma identidade trigonométrica que facilita a integração:
integral [sin x]^2 , dx
Assim, a integral fica:
sin^2 x = 1 - cos(2x)2

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^pi 1 , dx = x |0^pi = pi - 0 = pi
e
integral0^pi cos(2x) , dx = sin(2x)2 |0^pi = sin(2pi) - sin(0)2 = 0
Portanto, a integral completa é:
pi2 (pi - 0) = pi^22

Resposta

O volume do sólido $ S $ é:
S

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