Nos problemas abaixo, resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Separável)
.
(Equação Separável)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é do tipo Equação Separável. O enunciado que temos é:
Pra resolver esse tipo de equação, a gente precisa separar as variáveis
e
de lados diferentes da equação, para assim poder integrar cada parte separadamente. Vamos precisar lembrar de como fazer essa separação e depois aplicar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. A equação original é:
Para separar, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 3
Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A equação ficou:
Vamos integrar cada lado:
Passo 4
Vamos resolver as integrações uma por uma.
Primeiro, a esquerda:
Agora, a direita:
Passo 5
Agora, juntamos as duas integrações:
Podemos simplificar juntando as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 6
Vamos isolar
para encontrar a solução geral da equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Podemos reescrever
como uma nova constante
:
Agora, tiramos o inverso dos dois lados para resolver para
:
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar:
Podemos redefinir
como uma constante
, então a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante de integração.