Nos problemas abaixo, resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Separável) d xd t=x^2 t^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é do tipo Equação Separável. O enunciado que temos é:
d xd t = x^2 t^2
Pra resolver esse tipo de equação, a gente precisa separar as variáveis e de lados diferentes da equação, para assim poder integrar cada parte separadamente. Vamos precisar lembrar de como fazer essa separação e depois aplicar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. A equação original é:
d xd t = x^2 t^2
Para separar, colocamos todos os termos com d xx^2 = t^2 dt de um lado e os termos com do outro lado. Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A equação ficou:
d xx^2 = t^2 dt
Vamos integrar cada lado:
integral d xx^2 = integral t^2 dt

Passo 4

Vamos resolver as integrações uma por uma.
Primeiro, a esquerda:
integral d xx^2 = integral x^-2 dx = -x^-1 + C1 = -1x + C1
Agora, a direita:
integral t^2 dt = t^33 + C2

Passo 5

Agora, juntamos as duas integrações:
-1x + C1 = t^33 + C2
Podemos simplificar juntando as constantes -1x = t^33 + C e em uma única constante :

Passo 6

Vamos isolar 1x = -t^33 - C para encontrar a solução geral da equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 1x = -t^33 + C' :
x = 1- t^33 + C'
Podemos reescrever x = 3-t^3 + 3C' como uma nova constante :
Agora, tiramos o inverso dos dois lados para resolver para :
Multiplicando numerador e denominador por para simplificar:
Podemos redefinir como uma constante , então a solução geral fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x(t) = 3- t^3 + K
onde é uma constante de integração.

Exercícios relacionados