Determine a derivada direcional no ponto dado na direção do vetor v.
f(r, s)=arctan (r s), P(1,2), v=5 i+10 j

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a derivada direcional de f(r,s)=arctan(rs) no ponto P(1,2) na direção do vetor vec v=(5,10). O conteúdo é derivadas parciais e derivada direcional em funções de várias variáveis. A ideia é usar o gradiente de f e o vetor unitário na direção de vec v.

Passo 2

Para derivada direcional, lembramos que Dvec uf(P)=nabla f(P)cdot vec u, onde nabla f=(partial f/partial r,partial f/partial s) e vec u é o vetor unitário na direção de vec v. Então primeiro vamos achar as derivadas parciais de f.
As derivadas parciais vêm da regra da cadeia: partial f/partial r = 11+(rs)^2cdot s e partial f/partial s = 11+(rs)^2cdot r.

Passo 3

No ponto P(1,2) temos rs=1cdot2=2, logo 1+(rs)^2=1+4=5. Então partial f/partial r(1,2)=tfrac25 e partial f/partial s(1,2)=tfrac15. O gradiente em P é nabla f(1,2)=(2/5,1/5).

Passo 4

Agora vamos normalizar vec v=(5,10). O módulo de vec v é raiz5^2+10^2=raiz125=5raiz5. Logo o vetor unitário é vec u=l(55raiz5,105raiz5r)=(tfrac1raiz5,tfrac2raiz5).
A derivada direcional é o produto escalar nabla f(1,2)cdotvec u = 25cdot1raiz5 + 15cdot2raiz5 = 45raiz5 = 4raiz525.

Resposta

4raiz525

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