Calcule as seguintes integrais:
a) integral x cos (5 x) d x
b) integral r e^r / 3 dr

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular duas integrais indefinidas. O conteúdo principal é integração por partes, cuja fórmula é integral u,dv = u,v - integral v,du. Em (a) aplicamos essa fórmula diretamente em xcos(5x); em (b) também usamos partes para r,e^r/3.

Passo 2

Para a integral integral xcos(5x),dx, escolhemos:

Assim:

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes em integral xcos(5x),dx e calculando a integral remanescente, temos:
integral xcos(5x),dx = xcdot15sin(5x) - integral 15sin(5x),dx
Como integral sin(5x),dx = -tfrac15cos(5x), obtemos:
[
\int x\cos(5x),dx = \frac{x}{5}\sin(5x) + \frac{1}{25}\cos(5x) + C
)

Passo 4

Para a integral integral r,e^r/3,dr, escolhemos:

Logo:

Passo 5

Aplicando partes em integral r,e^r/3,dr e resolvendo, obtemos:
integral r,e^r/3,dr = rcdot3e^r/3 - integral 3e^r/3,dr = 3r e^r/3 - 9e^r/3 + C

Resposta

a) tfracx5sin(5x) + tfrac125cos(5x) + C
b) 3r e^r/3 - 9e^r/3 + C

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