Considere um SLIT causal com a seguinte resposta em frequência
H(j omega)=1j omega+3
Para uma dada entrada x(t) observamos a seguinte saída
y(t)=e^-3 t u(t)-e^-4 t u(t)
Determine x(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) com uma resposta em frequência específica: . Além disso, nos dá a saída do sistema para uma entrada desconhecida , que é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi a entrada que gerou essa saída.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em sistemas lineares e invariantes no tempo, a relação entre a entrada e a saída no domínio da frequência é dada pela multiplicação da transformada de Fourier da entrada Y(jomega) = H(jomega) cdot X(jomega) pela resposta em frequência X(jomega) = Y(jomega)H(jomega) :
Como queremos encontrar , basta rearranjar essa equação:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a transformada de Fourier da saída Y(jomega) = 1a + jomega . Vamos analisar Y(jomega) = 13 + jomega - 14 + jomega , onde é a função degrau unitário. A transformada de Fourier de é:
Aplicando isso para cada termo de :

Passo 4

Agora, substituímos X(jomega) = 13 + jomega - 14 + jomega1jomega + 3 = ( 13 + jomega - 14 + jomega ) cdot (jomega + 3) e X(jomega) = ( 13 + jomega - 14 + jomega ) cdot (3 + jomega) = 1 - 3 + jomega4 + jomega na equação de X(jomega) = 1 - ( 3 + jomega4 + jomega ) = (4 + jomega) - (3 + jomega)4 + jomega = 14 + jomega :
Simplificando isso:
Continuando a simplificação:

Passo 5

Agora que temos F^-1 1a + jomega = e^-a t u(t) , vamos encontrar a transformada inversa para obter x(t) = e^-4 t u(t) . Sabemos que:
Aplicando isso:

Resposta

A entrada x(t) = e^-4 t u(t) que gerou a saída observada é:

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