Considere um SLIT causal com a seguinte resposta em frequência
Para uma dada entrada
observamos a seguinte saída
Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) com uma resposta em frequência específica:
. Além disso, nos dá a saída do sistema para uma entrada desconhecida
, que é
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi a entrada
que gerou essa saída.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em sistemas lineares e invariantes no tempo, a relação entre a entrada e a saída no domínio da frequência é dada pela multiplicação da transformada de Fourier da entrada
pela resposta em frequência
:
Como queremos encontrar
, basta rearranjar essa equação:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a transformada de Fourier da saída
. Vamos analisar
, onde
é a função degrau unitário. A transformada de Fourier de
é:
Aplicando isso para cada termo de
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação de
:
Simplificando isso:
Continuando a simplificação:
Passo 5
Agora que temos
, vamos encontrar a transformada inversa para obter
. Sabemos que:
Aplicando isso:
Resposta
A entrada
que gerou a saída observada é: