Calcule as seguintes integrais:
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de $ x e{x{2}} $ de
até
. Para isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, identificamos uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável. Olhando para $ e{x{2}} $, vemos que o expoente
tem a sua derivada relacionada com o
que está multiplicando. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Isso significa que:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável
. Quando
:
Quando
:
Passo 6
Agora, percebemos que os limites de integração para
são iguais (ambos são 1). Portanto, a integral fica:
Resposta
O valor da integral é
.