Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
an=1n+6

Passo 1

Nesse exercício vamos analisar a sequência an=1n+6. O que precisamos: testar se é monótona (crescente ou decrescente) e verificar se existe cota (limitada). O conteúdo aqui é monotonicidade de sequência e definição de sequência limitada.

Passo 2

Para verificar monotonicidade, lembramos que uma sequência é decrescente se an+1 para todo n. Vamos analisar a diferença entre termos consecutivos:
an+1-an=1(n+1)+6-1n+6=1n+7-1n+6
=(n+6)-(n+7)(n+7)(n+6)=-1(n+7)(n+6)
Como (n+7)(n+6)>0 para todo n, a diferença é negativa, logo an+1. Concluímos que a sequência é decrescente.

Passo 3

Agora vamos ver se a sequência é limitada. Observe que para todo n temos an=1n+6>0, então 0 é uma cota inferior. E como n cresce, an decresce partindo de a1=tfrac17, que é o maior termo. Portanto
0< an <= 17,,
a sequência é limitada superior e inferiormente.

Resposta

A sequência é decrescente e limitada.

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