Calcule as seguintes integrais:
integralpi6^pi3 cotg theta d theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral definida de cotg θ, ou seja, . Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar como integrar a cotangente e aplicar o cálculo de integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a mesma coisa que cotg theta. Sabemos que para integrar essa função, podemos usar uma substituição simples. Vamos fazer:
cos thetasin theta
Isso simplifica a integral para:
u = sin theta Rightarrow du = cos theta , dtheta

Passo 3

Agora que sabemos a antiderivada de é cotg theta, podemos calcular a integral definida entre os limites ln |sin theta| e pi6:

Passo 4

Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para theta = pi3:
sin ( pi3 ) = raiz32
Para theta = pi6:
sin ( pi6 ) = 12
Substituindo esses valores na expressão:
ln ( raiz32 ) - ln ( 12 )

Passo 5

Utilizando as propriedades dos logaritmos, especificamente que ln a - ln b = ln ( ab ), temos:
ln ( raiz3212 ) = ln (raiz3) = 12 ln 3

Resposta

A integral vale 12 ln 3.

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