Calcule as seguintes integrais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando frações parciais para integrar uma função racional. Vamos precisar dividir a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma decomposição em frações parciais. Isso significa que vamos escrever a fração dada como soma de frações mais simples. Assumimos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Expandindo os termos à direita:
Simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
- Para
:
- Para
:
- Termo constante:
Passo 6
Com
, substituímos nas duas primeiras equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Então,
Passo 8
Agora que temos
,
e
, a decomposição fica:
Passo 9
Vamos integrar cada termo separadamente:
Isso resulta em:
Passo 10
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Simplificando:
Resposta
Simplificando tudo, a integral vale aproximadamente:
Ou, de forma mais simplificada: