Calcule as seguintes integrais:
integral1^2 x^2+2 x-1x(2 x-1)(x+2) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral1^2 x^2+2 x-1x(2 x-1)(x+2) , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando frações parciais para integrar uma função racional. Vamos precisar dividir a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma decomposição em frações parciais. Isso significa que vamos escrever a fração dada como soma de frações mais simples. Assumimos que:
x^2+2 x-1x(2 x-1)(x+2) = Ax + B2x - 1 + Cx + 2

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por x(2x - 1)(x + 2) para eliminar os denominadores:
x^2 + 2x - 1 = A(2x - 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x - 1)

Passo 4

Expandindo os termos à direita:
x^2 + 2x - 1 = A(2x^2 + 3x - 2) + B(x^2 + 2x) + C(2x^2 - x)
Simplificando:
x^2 + 2x - 1 = (2A + B + 2C)x^2 + (3A + 2B - C)x - 2A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para x^2:
2A + B + 2C = 1
  1. Para x:
3A + 2B - C = 2
  1. Termo constante:
-2A = -1 Rightarrow A = 12

Passo 6

Com A = 12, substituímos nas duas primeiras equações:
  1. 2(12) + B + 2C = 1 Rightarrow 1 + B + 2C = 1 Rightarrow B + 2C = 0
  2. 3(12) + 2B - C = 2 Rightarrow 32 + 2B - C = 2 Rightarrow 2B - C = 12

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
  1. B + 2C = 0 Rightarrow B = -2C
  2. 2(-2C) - C = 12 Rightarrow -4C - C = 12 Rightarrow -5C = 12 Rightarrow C = -110
Então, B = -2(-110) = 15

Passo 8

Agora que temos A, B e C, a decomposição fica:
x^2+2 x-1x(2 x-1)(x+2) = 1/2x + 1/52x - 1 - 110x + 2

Passo 9

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1/2x , dx + integral 1/52x - 1 , dx - integral 110x + 2 , dx
Isso resulta em:
12 ln|x| + 110 ln|2x - 1| - 110 ln|x + 2| + C

Passo 10

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
[ 12 ln 2 + 110 ln 3 - 110 ln 4 ] - [ 12 ln 1 + 110 ln 1 - 110 ln 3 ]
Simplificando:
12 ln 2 + 110 ln 3 - 110 ln 4 + 110 ln 3

Resposta

Simplificando tudo, a integral vale aproximadamente:
12 ln 2 + 210 ln 3 - 110 ln 4
Ou, de forma mais simplificada:
12 ln 2 + 15 ln 3 - 110 ln 4

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