Calcule as seguintes integrais:
integral-1^1(3 x-1)^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral definida de (3x - 1)^4 no intervalo de -1 até 1. Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais de funções polinomiais. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que facilita a integração de expressões mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos chamar u = 3x - 1. Isso significa que precisamos encontrar du em termos de dx.
Calculando a derivada de u em relação a x:
dudx = 3 implies dx = du3

Passo 3

Agora, vamos mudar os limites de integração de x para u. Quando x = -1:
u = 3(-1) - 1 = -3 - 1 = -4
E quando x = 1:
u = 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2
Então, a integral original integral-1^1 (3x - 1)^4 dx se transforma em:
integral-4^2 u^4 cdot du3

Passo 4

Vamos simplificar a constante 13 que está multiplicando a integral:
13 integral-4^2 u^4 du
Agora, precisamos calcular a integral de u^4 em relação a u.

Passo 5

A antiderivada de u^4 é:
integral u^4 du = u^55 + C
Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração:
13 [ u^55 ]-4^2 = 13 ( 2^55 - (-4)^55 )

Passo 6

Vamos calcular os valores:
2^5 = 32
(-4)^5 = -1024
Substituindo de volta:
13 ( 325 - -10245 ) = 13 ( 32 + 10245 ) = 13 cdot 10565 = 105615

Passo 7

Simplificando a fração 105615:
105615 = 3525 = 70,4

Resposta

O valor da integral é 70,4.

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