O volume do sólido do primeiro octante, limitado pelos planos x=0, z=0, x-y=2, y=z e y+z=2 vale
a) 6 u v.
b) 4 / 3 u cdot v.
c) 8 u cdot v.
d) 5 / 2 u.v.
e) 3 u, v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é para encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (aquele espaço onde x, y e z são positivos) e que é limitado por alguns planos: x=0, z=0, x - y = 2, y = z e y + z = 2. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, que ajudam a calcular volumes de sólidos definidos por essas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as limitações impostas pelos planos. O plano x=0 é o plano yz, z=0 é o plano xy, x - y = 2 pode ser reescrito como x = y + 2, y = z significa que y e z são iguais em qualquer ponto desse plano, e y + z = 2 é um plano inclinado que corta os eixos.

Passo 3

Vamos visualizar o que acontece no eixo y e z. Como y = z e y + z = 2, podemos resolver essas equações juntas para encontrar os limites. Substituindo z por y na segunda equação: y + y = 2 Rightarrow 2y = 2 Rightarrow y = 1. Então, z = 1. Isso nos dá que y e z variam de 0 a 1.

Passo 4

Agora, considerando x = y + 2, isso nos mostra como x depende de y. Mas como estamos no primeiro octante, x também começa de 0. Então, para cada valor de y entre 0 e 1, x varia de 0 a y + 2.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos montar os limites de integração para calcular o volume. A ordem de integração que vamos usar é: primeiro x, depois y, e por último z. Então, a integral tripla fica:
V = integralz=0^1 integraly=z^1 integralx=0^y+2 dx , dy , dz

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a x:
integralx=0^y+2 dx = x |0^y+2 = (y + 2) - 0 = y + 2
Agora, a integral fica:
V = integralz=0^1 integraly=z^1 (y + 2) , dy , dz

Passo 7

Vamos resolver a próxima integral, em relação a y:
integraly=z^1 (y + 2) , dy = ( 12y^2 + 2y ) |z^1 = ( 12(1)^2 + 2(1) ) - ( 12z^2 + 2z ) = ( 12 + 2 ) - ( 12z^2 + 2z ) = 52 - 12z^2 - 2z
Agora, a integral fica:
V = integralz=0^1 ( 52 - 12z^2 - 2z ) dz

Passo 8

Vamos resolver a última integral, em relação a z:
integralz=0^1 ( 52 - 12z^2 - 2z ) dz = 52z - 16z^3 - z^2 |0^1 = ( 52(1) - 16(1)^3 - (1)^2 ) - 0 = 52 - 16 - 1 = 52 - 16 - 66 = 156 - 16 - 66 = 86 = 43

Resposta

A resposta correta é a letra b) $ \frac{4}{3}, u \cdot v $.

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