O volume do sólido do primeiro octante, limitado pelos planos
e
vale
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.v.
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é para encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (aquele espaço onde x, y e z são positivos) e que é limitado por alguns planos:
,
,
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais triplas, que ajudam a calcular volumes de sólidos definidos por essas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as limitações impostas pelos planos. O plano
é o plano yz,
é o plano xy,
pode ser reescrito como
,
significa que y e z são iguais em qualquer ponto desse plano, e
é um plano inclinado que corta os eixos.
Passo 3
Vamos visualizar o que acontece no eixo y e z. Como
e
, podemos resolver essas equações juntas para encontrar os limites. Substituindo
por
na segunda equação:
. Então,
. Isso nos dá que y e z variam de 0 a 1.
Passo 4
Agora, considerando
, isso nos mostra como x depende de y. Mas como estamos no primeiro octante, x também começa de 0. Então, para cada valor de y entre 0 e 1, x varia de 0 a
.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos montar os limites de integração para calcular o volume. A ordem de integração que vamos usar é: primeiro x, depois y, e por último z. Então, a integral tripla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a x:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a próxima integral, em relação a y:
Agora, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a última integral, em relação a z:
Resposta
A resposta correta é a letra b) $ \frac{4}{3}, u \cdot v $.