Para uma dada população, seja P(t) o número de indivíduos que dela fazem parte no instante t. Suponhamos que a lei que rege a evolução temporal de n é
dPdt=kP
onde k é uma constante positiva. Neste contexto, considere-se uma população relativamente à qual sabe que sua população inicial dobrou em cinco anos, quanto tempo levará para triplicar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre como a população cresce ao longo do tempo. A equação que descreve esse crescimento é dPdt = kP, onde P(t) é a população no tempo t e k é uma constante positiva. A gente sabe que a população dobra de tamanho em 5 anos e queremos descobrir quanto tempo leva para triplicar. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dPdt = kP. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que descreve crescimento exponencial. A solução geral dessa equação é:
P(t) = P0 , e^kt
Aqui, P0 é a população inicial e e é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,718.

Passo 3

Agora, vamos usar a informação de que a população dobra em 5 anos. Isso significa que:
P(5) = 2P0 = P0 , e^k cdot 5
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por P0:
2 = e^5k
Para encontrar k, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
ln(2) = 5k k = ln(2)5

Passo 4

Com o valor de k encontrado, queremos descobrir em quanto tempo a população triplica. Ou seja, queremos t tal que:
P(t) = 3P0 = P0 , e^kt
Dividindo ambos os lados por P0:
3 = e^kt
Tirando o logaritmo natural:
ln(3) = kt t = ln(3)k
Substituindo k = ln(2)5:
t = ln(3)ln(2)5 = 5 cdot ln(3)ln(2)
Calculando os valores:
t approx 5 cdot 1.09860.6931 approx 5 cdot 1.585 approx 7.925 anos

Resposta

A população levará aproximadamente 7,93 anos para triplicar.

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