Para uma dada população, seja
o número de indivíduos que dela fazem parte no instante
. Suponhamos que a lei que rege a evolução temporal de
é
onde
é uma constante positiva. Neste contexto, considere-se uma população relativamente à qual sabe que sua população inicial dobrou em cinco anos, quanto tempo levará para triplicar?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre como a população cresce ao longo do tempo. A equação que descreve esse crescimento é
, onde
é a população no tempo
e
é uma constante positiva. A gente sabe que a população dobra de tamanho em 5 anos e queremos descobrir quanto tempo leva para triplicar. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que descreve crescimento exponencial. A solução geral dessa equação é:
Aqui,
é a população inicial e
é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,718.
Passo 3
Agora, vamos usar a informação de que a população dobra em 5 anos. Isso significa que:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Para encontrar
, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 4
Com o valor de
encontrado, queremos descobrir em quanto tempo a população triplica. Ou seja, queremos
tal que:
Dividindo ambos os lados por
:
Tirando o logaritmo natural:
Substituindo
:
Calculando os valores:
Resposta
A população levará aproximadamente 7,93 anos para triplicar.