Calcular e interpretar fisicamente cada integral seguinte,
Usar coordenadas esféricas.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral tripla
usando coordenadas esféricas. O conteúdo envolve mudança de variáveis para coordenadas esféricas e interpretação física do resultado (momento de inércia em torno do eixo
).
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos as substituições
,
,
e o elemento de volume
. Além disso
. Assim a integral fica
Passo 3
Calculemos cada parte separadamente. Primeiro a integral em
:
Passo 4
Agora a integral em
. Usamos
e obtemos
Passo 5
E por fim a integral em
:
Passo 6
Multiplicando tudo:
. Fisicamente, essa integral é o momento de inércia de uma esfera homogênea de densidade unitária em torno do eixo
, pois integraremos
sobre todo o volume.