Calcular e interpretar fisicamente cada integral seguinte,
integral triplax^2+y^2+z^2 <= a^2(x^2+y^2) d x d y d z, a>0
Usar coordenadas esféricas.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral tripla integral triplax^2+y^2+z^2 <= a^2 (x^2+y^2),dx,dy,dz usando coordenadas esféricas. O conteúdo envolve mudança de variáveis para coordenadas esféricas e interpretação física do resultado (momento de inércia em torno do eixo z).

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as substituições x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi e o elemento de volume dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. Além disso x^2+y^2=rho^2sin^2phi. Assim a integral fica

Passo 3

Calculemos cada parte separadamente. Primeiro a integral em rho:

Passo 4

Agora a integral em phi. Usamos sin^3phi=sinphi,(1-cos^2phi) e obtemos

Passo 5

E por fim a integral em theta:

Passo 6

Multiplicando tudo: dfraca^55timesdfrac43times2pi = dfrac8pi a^515. Fisicamente, essa integral é o momento de inércia de uma esfera homogênea de densidade unitária em torno do eixo z, pois integraremos x^2+y^2=rperp^2 sobre todo o volume.

Resposta

8pi a^515

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