Questão 5. (1 pt) Considere a função
definida implicitamente pela equação
. O valor de
no ponto
é:
0
0
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação que relaciona $ x $ e $ y $ de forma implícita:
A matéria que vamos usar aqui é derivada implícita, que serve para encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $ quando $ y $ não está isolado. Precisamos encontrar $ f’(x) $ no ponto $ (1, 0) $.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a $ x $. Lembre-se que $ y $ é uma função de $ x $, então quando diferenciamos termos que envolvem $ y $, usamos a regra da cadeia.
Derivando termo a termo:
- A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1.
- A derivada de $ \sin(y) $ é $ \cos(y) \cdot \frac{dy}{dx} $.
- A derivada de $ \frac{y}{x} $ usa a regra do quociente:
Então, a derivada da equação fica:
Passo 3
Agora, vamos juntar os termos que contêm $ \frac{dy}{dx} $:
Simplificando $ \frac{x}{x^2} $ para $ \frac{1}{x} $, temos:
Passo 4
Resolvendo para $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 5
Agora, vamos substituir o ponto $ (1, 0) $ na expressão. Sabemos que $ x = 1 $ e $ y = 0 $:
- $ \cos(0) = 1 $
- $ \frac{y}{x^2} = \frac{0}{1} = 0 $
- $ \frac{1}{x} = 1 $
Substituindo:
Resposta
O valor de $ f^{\prime}(x) $ no ponto $ (1, 0) $ é $ -\frac{1}{2} $.