Questão 5. (1 pt) Considere a função y=f(x) definida implicitamente pela equação x+sen(y)+yx=1. O valor de f^prime(x) no ponto (1,0) é:
0 -1 -12 12 -2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação que relaciona $ x $ e $ y $ de forma implícita:
x
A matéria que vamos usar aqui é derivada implícita, que serve para encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $ quando $ y $ não está isolado. Precisamos encontrar $ f’(x) $ no ponto $ (1, 0) $.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a $ x $. Lembre-se que $ y $ é uma função de $ x $, então quando diferenciamos termos que envolvem $ y $, usamos a regra da cadeia.
Derivando termo a termo:
  • A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1.
  • A derivada de $ \sin(y) $ é $ \cos(y) \cdot \frac{dy}{dx} $.
  • A derivada de $ \frac{y}{x} $ usa a regra do quociente: x
Então, a derivada da equação fica:
y

Passo 3

Agora, vamos juntar os termos que contêm $ \frac{dy}{dx} $:
dydx
Simplificando $ \frac{x}{x^2} $ para $ \frac{1}{x} $, temos:
( cos(y) + xx^2 ) cdot dydx + -yx^2 + 1 = 0

Passo 4

Resolvendo para $ \frac{dy}{dx} $:
dydx

Passo 5

Agora, vamos substituir o ponto $ (1, 0) $ na expressão. Sabemos que $ x = 1 $ e $ y = 0 $:
  • $ \cos(0) = 1 $
  • $ \frac{y}{x^2} = \frac{0}{1} = 0 $
  • $ \frac{1}{x} = 1 $
Substituindo:
(1, 0)

Resposta

O valor de $ f^{\prime}(x) $ no ponto $ (1, 0) $ é $ -\frac{1}{2} $.

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