Calcule as seguintes integrais:
integral e^x(2 e^x+3)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral e^xl(2e^x+3r)^3,dx
O conteúdo essencial aqui é o método de substituição (u-substituição), pois vemos a composição de uma função do tipo l(2e^x+3r)^3 multiplicada por e^x.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 2e^x + 3
Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = 2e^x,dx Longrightarrow e^x,dx = du2

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
integral e^xl(2e^x+3r)^3,dx = integral u^3,du2 = 12integral u^3,du
Agora basta integrar u^3:
12integral u^3,du = 12cdotu^44 = u^48

Passo 4

Voltando à variável original x, substituímos u = 2e^x+3, o que nos dá
u^48 + C = l(2e^x+3r)^48 + C

Resposta

integral e^xl(2e^x+3r)^3,dx = l(2e^x+3r)^48 + C

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