d yd x=(y-1)^2, y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx = (y-1)^2,
com a condição inicial y(0)=1. O método adequado aqui é separar variáveis e integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e x do outro:
dy(y-1)^2 = dx
Agora integramos ambos os lados.

Passo 3

A integral do lado esquerdo é
integral dy(y-1)^2 = integral (y-1)^-2,dy = -1y-1 + C1,
e do lado direito
integral dx = x + C2
Reunindo constantes, obtemos a forma implícita
-1y-1 = x + C,
onde C = C2 - C1.

Passo 4

Resolvendo para y, temos
-1y-1 = x + C Longrightarrow y(x) = 1 - 1x + C
Para impor y(0)=1 precisamos de
1 = 1 - 1C Longrightarrow 1C = 0,
o que não ocorre para C finito. Isso indica que a única solução que satisfaz a condição inicial é a solução trivial de equilíbrio
y(x) = 1

Resposta

y(x) = 1

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