Calcule as seguintes integrais
integral x+1raiz9-x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função
x+1raiz9-x^2
ou seja, queremos calcular
integral x+1raiz9-x^2,dx
O conteúdo aqui envolve a propriedade de linearidade da integral, a técnica de substituição e a integral padrão
integral dxraiza^2-x^2=arcsinl(xar)+C

Passo 2

Aplicamos a linearidade e separamos em duas integrais:
integral x+1raiz9-x^2,dx = integral xraiz9-x^2,dx + integral 1raiz9-x^2,dx

Passo 3

Para
integral xraiz9-x^2,dx
fazemos a substituição u=9-x^2, então du=-2x,dx ou x,dx=-tfrac12,du. A integral vira
integral xraizul(-tfrac12,dur) =-tfrac12integral u^-tfrac12,du =-tfrac12cdot 2,u^tfrac12 =-raizu =-raiz9-x^2

Passo 4

A outra integral é a forma conhecida
integral 1raiz9-x^2,dx =arcsinl(x3r)

Passo 5

Juntando os dois resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
integral x+1raiz9-x^2,dx =-raiz9-x^2 +arcsinl(x3r)+C

Resposta

-raiz9-x^2+arcsin!l(tfracx3r)+C

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