1. Considere a função f tal que f^prime prime(x)=x^2-2 xx^2+1.
    (a) Determine os intervalos onde a concavidade está voltada para cima ou para baixo, bem como os pontos de inflexão de f.
    (b) Determine os intervalos onde f^prime é crescente e onde f^prime é decrescente.

Passo 1

O enunciado nos dá a segunda derivada
f''(x) = x^2 - 2xx^2 + 1
e pede (a) os intervalos de concavidade de f e os pontos de inflexão, e (b) os intervalos onde f' é crescente ou decrescente. Vamos usar o fato de que o sinal de f'' determina a concavidade de f e a monotonicidade de f'.

Passo 2

Para analisar o sinal de f''(x) resolvemos o numerador
x^2 - 2x = x(x - 2) = 0
que zera em x=0 e em x=2. O denominador x^2+1 é sempre positivo para todo xinR. Assim, o sinal de f''(x) é o mesmo de x(x-2).

Passo 3

Fazendo o estudo de sinais de x(x-2):
  • Para x<0, temos x<0 e x-2<0, logo x(x-2)>0.
  • Para 0<x<2, temos x>0 e x-2<0, logo x(x-2)<0.
  • Para x>2, temos x>0 e x-2>0, logo x(x-2)>0.

Passo 4

Como f''(x)>0 em (-infty,0) e em (2,infty), a função f é côncava para cima nesses intervalos. Como f''(x)<0 em (0,2), f é côncava para baixo ali. Os pontos onde a concavidade muda são x=0 e x=2, que são, portanto, os pontos de inflexão de f.

Passo 5

Sabendo que f' é crescente quando f''>0 e decrescente quando f''<0, concluímos:
  • f' é crescente em (-infty,0) e em (2,infty).
  • f' é decrescente em (0,2).

Resposta

(a) f é côncava para cima em (-infty,0) e (2,infty), côncava para baixo em (0,2); os pontos de inflexão são x=0 e x=2.
(b) f' é crescente em (-infty,0) e (2,infty), e decrescente em (0,2).

Exercícios relacionados