- Considere a função
tal que
.
(a) Determine os intervalos onde a concavidade está voltada para cima ou para baixo, bem como os pontos de inflexão de
.
(b) Determine os intervalos onde
é crescente e onde
é decrescente.
(a) Determine os intervalos onde a concavidade está voltada para cima ou para baixo, bem como os pontos de inflexão de
(b) Determine os intervalos onde
Passo 1
O enunciado nos dá a segunda derivada
e pede (a) os intervalos de concavidade de
e os pontos de inflexão, e (b) os intervalos onde
é crescente ou decrescente. Vamos usar o fato de que o sinal de
determina a concavidade de
e a monotonicidade de
.
Passo 2
Para analisar o sinal de
resolvemos o numerador
que zera em
e em
. O denominador
é sempre positivo para todo
. Assim, o sinal de
é o mesmo de
.
Passo 3
Fazendo o estudo de sinais de
:
- Para
, temos e , logo . - Para
, temos e , logo . - Para
, temos e , logo .
Passo 4
Como
em
e em
, a função
é côncava para cima nesses intervalos. Como
em
,
é côncava para baixo ali. Os pontos onde a concavidade muda são
e
, que são, portanto, os pontos de inflexão de
.
Passo 5
Sabendo que
é crescente quando
e decrescente quando
, concluímos:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em .
Resposta
(a)
é côncava para cima em
e
, côncava para baixo em
; os pontos de inflexão são
e
.
(b) é crescente em
e
, e decrescente em
.
(b)