Exercício 7. (Apostol seção 1.13 exercício 1) As funções
definidas abaixo definem um produto interno? Justifique.
.
Passo 1
O enunciado pergunta se a aplicação
dada por
é um produto interno. Para isso, vamos precisar dos três requisitos de produto interno: simetria, bilinearidade (linearidade em cada parâmetro) e positividade definida.
Passo 2
Expandindo a definição temos para quaisquer
e
:
Subtraindo
e
vem
Passo 3
Como
fica claro que
, ou seja, é simétrica. Além disso, é múltiplo escalar (por
) do produto escalar usual, logo preserva linearidade em cada argumento:
e para todo escalar
Passo 4
Para a positividade definida, note que
e essa soma é zero somente se
para todo
, ou seja,
. Portanto
para todo
.
Resposta
Sim, essa aplicação satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, logo define um produto interno em
.