Exercício 7. (Apostol seção 1.13 exercício 1) As funções lang<=,rang<=: R^n times R^n R definidas abaixo definem um produto interno? Justifique.
lang<=(x1, ldots, xn),(y1, ldots, yn)rang<==sumj=1^n(xj+yj)^2-sumj=1^n xj^2-sumj=1^n yj^2.

Passo 1

O enunciado pergunta se a aplicação
lang<=cdot,cdotrang<=:R^ntimesR^ntoR dada por
lang<= (x1,dots,xn),(y1,dots,yn)rang<= =sumj=1^n (xj+yj)^2 ;-!!!sumj=1^n xj^2 ;-!!!sumj=1^n yj^2
é um produto interno. Para isso, vamos precisar dos três requisitos de produto interno: simetria, bilinearidade (linearidade em cada parâmetro) e positividade definida.

Passo 2

Expandindo a definição temos para quaisquer (x1,dots,xn) e (y1,dots,yn):
sumj=1^n (xj+yj)^2 =sumj=1^nl(xj^2+2xjyj+yj^2r) =sumj=1^n xj^2+2sumj=1^n xjyj+sumj=1^n yj^2
Subtraindo sum xj^2 e sum yj^2 vem
lang<= x,yrang<= =2sumj=1^n xjyj

Passo 3

Como
lang<= x,yrang<= =2sumj=1^n xjyj e lang<= y,xrang<= =2sumj=1^n yjxj,
fica claro que lang<= x,yrang<==lang<= y,xrang<=, ou seja, é simétrica. Além disso, é múltiplo escalar (por 2) do produto escalar usual, logo preserva linearidade em cada argumento:
lang<= x+z,yrang<= =2sumj (xj+zj)yj =2sumj xjyj+2sumj zjyj =lang<= x,yrang<=+lang<= z,yrang<=,
e para todo escalar alpha
lang<= alpha x,yrang<= =2sumj (alpha xj)yj =alpha,2sumj xjyj =alphalang<= x,yrang<=

Passo 4

Para a positividade definida, note que
lang<= x,xrang<= =2sumj=1^n xj^2>=0
e essa soma é zero somente se xj=0 para todo j, ou seja, x=0. Portanto lang<= x,xrang<=>0 para todo xneq0.

Resposta

Sim, essa aplicação satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, logo define um produto interno em R^n.

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