5.4K Cada edo dada abaixo tem coeficientes homogêneos. Encontre a solução geral em cada caso:
(x tg(y / x)-y) d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(xtan(y/x)-y),dx + x,dy = 0
e diz que os coeficientes são homogêneos (funções de y/x). O conteúdo é resolvê-la por meio da substituição clássica y = x,v.

Passo 2

Fazendo
y = x,v Longrightarrow dy = v,dx + x,dv,
substituímos em
(xtan(y/x)-y),dx + x,dy = 0. Note que y/x = v, então a equação vira
l(xtan(v)-xvr),dx + xl(v,dx + x,dvr)=0

Passo 3

Distribuindo e cancelando -xv,dx + x v,dx, obtemos
xtan(v),dx + x^2,dv = 0 ;Longrightarrow; tan(v),dx + x,dv = 0 ;Longrightarrow; dv = -tan(v),dxx

Passo 4

Separamos variáveis:
dvtan(v) = -dxx Longrightarrow integral cos(v)sin(v),dv = -integral dxx
Calculando as integrais:
lnl|sin(v)r| = -ln|x| + C

Passo 5

Volta à variável original v = y/x:
lnl|sin(y/x)r| + ln|x| = C Longrightarrow lnl|x,sin(y/x)r| = C Longrightarrow x,sinl(tfracyxr) = K,
onde K = e^C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
x,sin!l(tfracyxr) = C,
com C constante.

Exercícios relacionados