Calcule as seguintes integrais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos a integral de $ \frac{x}{\sqrt{2 - 9x^{2}}} $ em relação a $ x $. Para isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, mais especificamente a substituição (também conhecida como mudança de variável). Vamos precisar identificar uma parte da função que, quando substituída, simplifica a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o que está dentro da raiz: $ 2 - 9x^{2} $. Isso parece com uma expressão quadrática que poderíamos querer simplificar. Vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos chamar:
Isso simplifica a raiz para $ \sqrt{u} $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para substituir $ dx $. Derivando ambos os lados:
Então, podemos rearranjar para expressar $ dx $ em termos de $ du $:
Passo 4
Vamos substituir $ u $ e $ dx $ na integral original:
Passo 5
Observe que o $ x $ no numerador e no denominador se cancelam:
Podemos simplificar para:
Passo 6
Agora, vamos integrar $ u^{-1/2} $ em relação a $ u $. A integral de $ u^{n} $ é $ \frac{u^{n+1}}{n+1} $ quando $ n \neq -1 $:
Passo 7
Substituindo de volta na nossa expressão:
Lembre-se que $ u = 2 - 9x^{2} $, então:
Resposta
A integral $ \int \frac{x}{\sqrt{2 - 9x^{2}}} dx $ é igual a:
onde $ C $ é a constante de integração.