Calcule as seguintes integrais
integral xraiz2-9 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos a integral de $ \frac{x}{\sqrt{2 - 9x^{2}}} $ em relação a $ x $. Para isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, mais especificamente a substituição (também conhecida como mudança de variável). Vamos precisar identificar uma parte da função que, quando substituída, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que está dentro da raiz: $ 2 - 9x^{2} $. Isso parece com uma expressão quadrática que poderíamos querer simplificar. Vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos chamar:
2 - 9x^2
Isso simplifica a raiz para $ \sqrt{u} $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para substituir $ dx $. Derivando ambos os lados:
u
Então, podemos rearranjar para expressar $ dx $ em termos de $ du $:
x

Passo 4

Vamos substituir $ u $ e $ dx $ na integral original:
u

Passo 5

Observe que o $ x $ no numerador e no denominador se cancelam:
x
Podemos simplificar para:
integral xraizu cdot du-18x = integral 1-18raizu du

Passo 6

Agora, vamos integrar $ u^{-1/2} $ em relação a $ u $. A integral de $ u^{n} $ é $ \frac{u^{n+1}}{n+1} $ quando $ n \neq -1 $:
u^-1/2

Passo 7

Substituindo de volta na nossa expressão:
-118 cdot 2u^1/2 = -218 raizu = -19 raizu
Lembre-se que $ u = 2 - 9x^{2} $, então:
u = 2 - 9x^2

Resposta

A integral $ \int \frac{x}{\sqrt{2 - 9x^{2}}} dx $ é igual a:
integral xraiz2 - 9x^2 dx
onde $ C $ é a constante de integração.

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