a) Determine o derivada da função A(x)=integralx^3^x^2 t^31+t^2 d t.
b) Sabendo que B^prime(x)=4 x^3-2 x+3 e B(1)=5, obtenha B(x).

Passo 1

Nesse exercício temos duas partes: em (a) queremos derivar uma integral cujo limites dependem de x (Aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo em conjunto com a Regra de Leibniz). Em (b) queremos recuperar a função B(x) a partir da sua derivada e de uma condição inicial (Processo de antiderivação e uso de constante de integração).

Passo 2

Para a parte (a) usamos a Regra de Leibniz. Se tivermos A(x)=integralu(x)^v(x)f(t),dt, então
A'(x)=fl(v(x)r)v'(x)-fl(u(x)r)u'(x)

Passo 3

Aqui f(t)=t^31+t^2, u(x)=x^3 e v(x)=x^2. Logo calculamos
fl(x^2r)=dfrac(x^2)^31+(x^2)^2=dfracx^61+x^4, v'(x)=2x,
fl(x^3r)=dfrac(x^3)^31+(x^3)^2=dfracx^91+x^6, u'(x)=3x^2

Passo 4

Substituindo em Leibniz obtemos
A'(x)=x^61+x^4cdot2x - x^91+x^6cdot3x^2 = 2x^71+x^4 - 3x^111+x^6

Passo 5

Na parte (b) sabemos que B'(x)=4x^3-2x+3. Para achar B(x) fazemos a antiderivação termo a termo:
integral(4x^3-2x+3),dx = x^4 - x^2 + 3x + C

Passo 6

Para determinar C usamos a condição B(1)=5:
1^4 - 1^2 + 3cdot1 + C = 5 implies 1 -1 +3 + C =5 implies 3+C=5 implies C=2
Portanto

Resposta

A'(x)=2x^71+x^4-3x^111+x^6
B(x)=x^4 - x^2 + 3x + 2

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