Determine tal que seja o valor médio da função em , dado pelo teorema do valor médio para integrais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um número $ d $ entre 0 e 1 tal que o valor da função $ f(d) $ seja igual ao valor médio da função $ f(x) = 3x^{2} - 2x + 1 $ no intervalo . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais, que basicamente nos garante que existe pelo menos um ponto $ c $ no intervalo onde o valor da função é exatamente o valor médio dela no intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o valor médio da função no intervalo . A fórmula para o valor médio de uma função $ f(x) $ em é:
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 1 $. Vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 1.
Passo 3
Vamos integrar $ f(x) = 3x^{2} - 2x + 1 $:
Calculando cada integral separadamente:
Passo 4
Agora, avaliamos cada uma dessas integrais no intervalo de 0 a 1:
x^2 |0^1 = 1^2 - 0^2 = 1 - 0 = 1
x |0^1 = 1 - 0 = 1
Então, somando todas as partes:
integral0^1 (3x^2 - 2x + 1) , dx = 1 - 1 + 1 = 1
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do valor médio:
Valor médio = 11 - 0 times 1 = 1 é
Então, o valor médio da função $ f(x) $ no intervalo f(x) é 1.
Passo 6
Segundo o Teorema do Valor Médio para Integrais, existe um ponto $ d $ em d onde $ f(d) $ é igual a esse valor médio. Ou seja: