Determine d in(0,1) tal que f(d) seja o valor médio da função f(x)=3 x^2-2 x+1 em [0,1], dado pelo teorema do valor médio para integrais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um número $ d $ entre 0 e 1 tal que o valor da função $ f(d) $ seja igual ao valor médio da função $ f(x) = 3x^{2} - 2x + 1 $ no intervalo d . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais, que basicamente nos garante que existe pelo menos um ponto $ c $ no intervalo onde o valor da função é exatamente o valor médio dela no intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o valor médio da função no intervalo [0,1]. A fórmula para o valor médio de uma função $ f(x) $ em f(x) é:
[a,b]é
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 1 $. Vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 1.

Passo 3

Vamos integrar $ f(x) = 3x^{2} - 2x + 1 $:
f(x) = 3x^2 - 2x + 1
Calculando cada integral separadamente:
integral0^1 (3x^2 - 2x + 1) , dx = integral0^1 3x^2 , dx - integral0^1 2x , dx + integral0^1 1 , dx
integral 3x^2 , dx = x^3 (avaliado de 0 a 1)
integral 2x , dx = x^2 (avaliado de 0 a 1)

Passo 4

Agora, avaliamos cada uma dessas integrais no intervalo de 0 a 1:
x^3 |0^1 = 1^3 - 0^3 = 1 - 0 = 1
x^2 |0^1 = 1^2 - 0^2 = 1 - 0 = 1
x |0^1 = 1 - 0 = 1
Então, somando todas as partes:
integral0^1 (3x^2 - 2x + 1) , dx = 1 - 1 + 1 = 1

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do valor médio:
Valor médio = 11 - 0 times 1 = 1 é
Então, o valor médio da função $ f(x) $ no intervalo f(x) é 1.

Passo 6

Segundo o Teorema do Valor Médio para Integrais, existe um ponto $ d $ em d onde $ f(d) $ é igual a esse valor médio. Ou seja:
(0,1)
Vamos resolver isso para encontrar $ d $.

Passo 7

Sabemos que $ f(x) = 3x^{2} - 2x + 1 $. Então, temos:
f(x) = 3x^2 - 2x + 1
Vamos simplificar essa equação:
3d^2 - 2d + 1 = 1

Passo 8

Fatorando a equação:
d(3d - 2) = 0
Então, as soluções são:
d = 0 ou 3d - 2 = 0 implies d = 23

Resposta

Como $ d $ deve estar no intervalo d , descartamos $ d = 0 $. Portanto,
(0,1)

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