Encontre equações paramétricas para a curva C interseção das superfícies z=-x^2+y^2 e z= -1+x^2+2 y^2. Faça um esboço, indicando a orientação.

Passo 1

O enunciado pede para achar as equações paramétricas da curva de interseção entre as superfícies z=-x^2+y^2 e z=-1+x^2+2y^2. O conteúdo é interseção de superfícies quádricas e vamos precisar igualar as duas expressões para z e reconhecer a curva resultante no plano xy.

Passo 2

Igualamos as duas expressões de z:
-x^2+y^2 ,=,-1 + x^2 + 2y^2
Reagrupando todos os termos de um lado:
-x^2 + y^2 +1 - x^2 -2y^2 = 0
ou seja
2x^2 + y^2 = 1
que é a equação de uma elipse no plano xy.

Passo 3

Para parametrizar a elipse 2x^2 + y^2 = 1, reconhecemos a forma padrão x^2(1/raiz2)^2 + y^21^2 = 1. Assim, um parâmetro tin[0,2pi] nos dá:
x = 1raiz2cos t, y = sin t

Passo 4

Agora determinamos z substituindo em uma das superfícies, por exemplo z = -x^2 + y^2:
z = -l(tfrac1raiz2cos tr)^2 + (sin t)^2 = -tfrac12cos^2t + sin^2t

Passo 5

Juntando tudo, obtemos as equações paramétricas:
x(t) = dfrac1raiz2cos t, y(t) = sin t, z(t) = -dfrac12cos^2t + sin^2t, tin[0,2pi]
Quando t cresce, o ponto percorre a elipse no sentido anti-horário visto de cima (e a curva sobe e desce conforme o z(t)).

Passo 6

No esboço, desenhe primeiro a elipse de eixos 1/raiz2 em x e 1 em y no plano xy, trace flechas no sentido anti-horário, e então levante cada ponto até a altura z(t) dando a forma final da curva no espaço.

Resposta

As equações paramétricas da curva de interseção são
x(t) = dfrac1raiz2cos t, y(t) = sin t, z(t) = -dfrac12cos^2t + sin^2t, tin[0,2pi],
e o sentido de percurso, visto do eixo +z, é anti-horário.

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