Encontre equações paramétricas para a curva interseção das superfícies e . Faça um esboço, indicando a orientação.
Passo 1
O enunciado pede para achar as equações paramétricas da curva de interseção entre as superfícies e . O conteúdo é interseção de superfícies quádricas e vamos precisar igualar as duas expressões para e reconhecer a curva resultante no plano .
Passo 2
Igualamos as duas expressões de :
Reagrupando todos os termos de um lado:
ou seja
que é a equação de uma elipse no plano .
Passo 3
Para parametrizar a elipse , reconhecemos a forma padrão . Assim, um parâmetro nos dá:
Passo 4
Agora determinamos substituindo em uma das superfícies, por exemplo :
Passo 5
Juntando tudo, obtemos as equações paramétricas:
Quando t cresce, o ponto percorre a elipse no sentido anti-horário visto de cima (e a curva sobe e desce conforme o z(t)).
Passo 6
No esboço, desenhe primeiro a elipse de eixos 1/raiz2 em x e 1 em y no plano xy, trace flechas no sentido anti-horário, e então levante cada ponto até a altura z(t) dando a forma final da curva no espaço.
Resposta
As equações paramétricas da curva de interseção são