Determine as integrais abaixo:
integral sen^5 y cos ^2 y d y

Passo 1

Nesse exercício a gente vai calcular a integral
I = integral sin^5 y ,cos^2 y ,dy
O conteúdo é integração de funções trigonométricas, e pra resolver vamos precisar de duas coisas:
  1. usar a identidade sin^2 y = 1 - cos^2 y,
  2. fazer uma substituição do tipo u = cos y (chamada de substituição simples ou u-substituição).

Passo 2

Beleza, o expoente de sin y é ímpar (5), então a estratégia é “guardar” um sin y pra substituir depois. A gente escreve
sin^5 y = (sin^2 y)^2 cdot sin y,
e aí usa sin^2 y = 1 - cos^2 y no lugar de cada sin^2 y.

Passo 3

Substituindo isso dentro da integral, fica:
integral sin^5 y ,cos^2 y,dy = integral (sin^2 y)^2,sin y,cos^2 y,dy = integral (1 - cos^2 y)^2,cos^2 y,sin y,dy

Passo 4

Agora vem a substituição u = cos y. Daí du = -sin y,dy, ou seja sin y,dy = -du. Assim:
integral (1 - cos^2 y)^2,cos^2 y,sin y,dy = -integral (1 - u^2)^2,u^2 ,du

Passo 5

Expandindo o polinômio dentro do integral:
(1 - u^2)^2,u^2 = u^2,(1 - 2u^2 + u^4) = u^2 - 2u^4 + u^6
Então
-integral (u^2 - 2u^4 + u^6),du = -l(u^33 - 2u^55 + u^77r) + C
Por fim voltamos pra variável y lembrando que u = cos y.

Resposta

-cos^3 y3 + 2cos^5 y5 - cos^7 y7 + C

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