Calcule os seguintes integrais: integral0^2 f(x) d x, onde f(x)= x^2+1, & 0 <= x<1 x+32, & 1 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 2 de uma função por partes, ou seja, integral0^2 f(x),dx onde
f(x)=x^2+1,&0<= x<1[6pt]x+32,&1<= x<=2

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar a propriedade de soma de integrais e quebrar em duas integrais nos subintervalos em que f(x) muda de expressão.
Começamos calculando
integral0^1l(x^2+1r),dx

Passo 3

Aplicando as fórmulas básicas de integral: integral x^2,dx=tfracx^33 e integral1,dx=x,
integral0^1l(x^2+1r),dx=l[tfracx^33+xr]0^1=l(tfrac1^33+1r)-(0)=tfrac13+1=tfrac43

Passo 4

Agora calculamos
integral1^2x+32,dx

Passo 5

Fatoramos o constante tfrac12 e integramos x+3:
integral1^2x+32,dx=12integral1^2(x+3),dx=12l[tfracx^22+3xr]1^2

Passo 6

Avaliar de 1 a 2:
l(tfrac2^22+3cdot2r)-l(tfrac1^22+3cdot1r)=l(2+6r)-l(tfrac12+3r)=8-3.5=4.5,
e multiplicando por tfrac12 tfrac12times4.5=2.25=tfrac94

Passo 7

Por fim, somamos as duas partes:
integral0^2f(x),dx=tfrac43+tfrac94

Passo 8

Somando com denominador comum 12: tfrac1612+tfrac2712=tfrac4312

Resposta

4312

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