Seja X1, ldots, Xn uma amostra de uma populaçāo: X sim f(x mid theta)=theta e^-theta x, x>0, theta>0.
c)Considere 10 valores gerados de uma a.a. com distribuiçāo Exp(theta=2): X=(0,4232 ; 0,2508 ; 0,02747 ; 0,0594 ; 0,5458 ; 0,8123 ; 0,7367 ; 0,0036 ; 0,1666 ; 0,1798). Encontre as estimativas de theta e widehatg(theta) para a amostra X.

Passo 1

Temos uma amostra independente e identicamente distribuída de tamanho n=10 de uma distribuição exponencial com densidade f(xmidtheta)=theta e^-theta x,;x>0,;theta>0. Queremos estimar o parâmetro theta pelo método de máxima verossimilhança e também estimar g(theta), onde neste caso g(theta)=1/theta (a média populacional).

Passo 2

Escrevendo a verossimilhança e derivando, obtemos a estimativa pelo método de máxima verossimilhança (EMV):
L(theta)=prodi=1^ntheta e^-theta xi=theta^n e^-thetasum xi,
ell(theta)=ln L(theta)=nlntheta-thetasumi=1^n xi,
Derivando em relação a theta e igualando a zero:
delldtheta=ntheta-sumi=1^n xi=0
Logo,
theta=nsumi=1^n xi

Passo 3

Agora somamos os valores observados:
sumi=1^10 xi =0,4232+0,2508+0,02747+0,0594+0,5458+0,8123+0,7367+0,0036+0,1666+0,1798approx3,20567
Substituindo em theta=10/3,20567, obtemos
thetaapprox3,1186

Passo 4

Pela propriedade de invariância do EMV, a estimativa de g(theta)=1/theta é
widehatg(theta)=g(theta)=1thetaapprox13,1186approx0,3206

Resposta

thetaapprox3,119 e widehatg(theta)approx0,321.

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