Considere uma amostra aleatória (X1, ldots, Xpi) de uma população X sim f(x mid lambda), quando X tem distribuição de Poisson: f(x mid theta)=e^-theta theta^x / x!, x=
10,1,2, ldots, theta>0.
a) Encontre o Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) de theta.

Passo 1

A questão dá uma amostra aleatória de tamanho n de uma variável Poisson com parâmetro theta e pede para encontrar o estimador de máxima verossimilhança (EMV) de theta. Vamos usar a definição de função de verossimilhança e derivar o logaritmo dela.

Passo 2

Escrevemos a função de verossimilhança como o produto das densidades:
L(theta)=prodi=1^n f(ximidtheta)=prodi=1^n e^-theta,theta^xixi!=e^-ntheta,theta^sumi=1^n xi,prodi=1^n1xi!

Passo 3

Calculamos o logaritmo da verossimilhança para facilitar a derivação:
ell(theta)=ln L(theta)=-ntheta+l(sumi=1^n xir)lntheta-sumi=1^nln(xi!)

Passo 4

Derivamos ell(theta) em relação a theta e igualamos a zero:
delldtheta=-n+sumi=1^n xitheta=0

Passo 5

Da igualdade acima vem
hattheta=1nsumi=1^n xi=overline X

Resposta

widehatthetaEMV=overline X, ou seja, a média amostral.

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