Considere a função g: R R definida por: g(x)=integral2^x e^t^2 d t Justifique que g^prime(x)=e^x^2, forall x in R.

Passo 1

O enunciado define a função g:RtoR por g(x)=integral2^xe^t^2,dt. O conteúdo da matéria é o Teorema Fundamental do Cálculo, e vamos precisar usar a definição de derivada de uma função dada por integral, sabendo que a integranda e^t^2 é contínua em R.

Passo 2

Pela definição de derivada, temos
g'(x)=limhto0g(x+h)-g(x)h =limhto01hl(integral2^x+he^t^2,dt-integral2^xe^t^2,dtr) =limhto01hintegralx^x+he^t^2,dt

Passo 3

Como e^t^2 é contínua, pelo Teorema de Valor Médio para integrais existe xi entre x e x+h tal que
integralx^x+he^t^2,dt = h,e^xi^2
Logo,
g'(x)=limhto0e^xi^2=e^x^2

Resposta

g'(x)=e^x^2, forall xinR

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