Calcule as seguintes integrais:
integral0^pi2 t cos t^2 d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^pi2 t cos t^2 , dt. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de substituição, também conhecida como substituição u.

Passo 2

Primeiro, identifique uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar a expressão. Observando a integral integral t cos t^2 , dt, percebemos que t^2 está dentro da função cosseno, e sua derivada em relação a t é 2t. Isso sugere que podemos escolher u = t^2.

Passo 3

Vamos definir nossa substituição:
u = t^2
Agora, calculamos a derivada de u em relação a t para encontrar du:
dudt = 2t implies du = 2t , dt
Precisamos expressar t , dt em termos de du:
t , dt = du2

Passo 4

Agora, substituímos u e t , dt na integral original:
integral t cos t^2 , dt = integral cos u cdot du2 = 12 integral cos u , du

Passo 5

A integral de cos u em relação a u é sin u, então:
12 integral cos u , du = 12 sin u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos u = t^2 de volta na expressão:
12 sin u + C = 12 sin t^2 + C

Passo 7

Como a integral é definida de 0 a pi2, aplicamos os limites de integração:
integral0^pi2 t cos t^2 , dt = [ 12 sin t^2 ]0^pi2 = 12 sin ( (pi2)^2 ) - 12 sin (0^2)

Passo 8

Calculamos os valores:
12 sin ( pi^24 ) - 12 sin (0) = 12 sin ( pi^24 ) - 0 = 12 sin ( pi^24 )

Resposta

A integral vale 12 sin ( pi^24 ).

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