Calcule as seguintes integrais:
integral0^5 raizx^2+25 d x.

Passo 1

Estamos calculando a integral definida integral0^5raizx^2+25,dx, que é um caso de função do tipo raizx^2+a^2. Para resolver, vamos usar a substituição hiperbólica x=5sinh t, pois isso simplifica a raiz e nos permite integrar facilmente.

Passo 2

Fazendo x=5sinh t temos dx=5cosh t,dt e raizx^2+25=5cosh t. Então o integrando vira:
integral raizx^2+25,dx = integral 5cosh tcdot5cosh t,dt = 25integral cosh^2t,dt
Para integrar cosh^2t, usamos cosh^2t = tfrac1+cosh(2t)2, obtendo
25integral cosh^2t,dt = 252integral (1+cosh2t),dt = 252t + 254sinh2t + C

Passo 3

Voltamos à variável x. Note que sinh2t = 2sinh tcosh t = 2xraizx^2+2525 e t=arsinh(x/5). Portanto a antiderivada fica
x2raizx^2+25 + 252,arsinh!l(tfracx5r) + C

Passo 4

Avaliamos de 0 a 5. Para x=5, o termo arsinh(1)=ln(1+raiz2) e tfrac52raiz50 = tfrac25raiz22. Para x=0 a expressão é zero. Subtraindo, resulta
25raiz22 + 252ln(1+raiz2)

Resposta

25raiz22 + 252ln(1+raiz2)

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