Determine o raio de convergência da série de potências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série de potências dada:
Isso envolve conceitos de séries de potências e entender até onde a série “funciona” ou converge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar esse raio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série de potências da forma
, o raio de convergência $ R $ pode ser encontrado usando:
No nosso caso, $ a_n = \frac{(-1)^n n2}{3n} $ e a série está centrada em $ c = -2 $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Primeiro, vamos encontrar $ a_{n+1} $:
Em seguida, calculamos a razão $ \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| $:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Dividindo numerador e denominador por $ n^2 $:
Resposta
O raio de convergência da série é 3.