Determine o raio de convergência da série de potências abaixo:
sumn=0^infty (-1)^n n^2(x+2)^n3^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série de potências dada:
sumn=0^infty (-1)^n n^2(x+2)^n3^n
Isso envolve conceitos de séries de potências e entender até onde a série “funciona” ou converge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar esse raio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série de potências da forma sum an (x - c)^n, o raio de convergência $ R $ pode ser encontrado usando:
R
No nosso caso, $ a_n = \frac{(-1)^n n2}{3n} $ e a série está centrada em $ c = -2 $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Primeiro, vamos encontrar $ a_{n+1} $:
an+1
Em seguida, calculamos a razão $ \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| $:
an+1 = (-1)^n+1 (n+1)^23^n+1
Simplificando os termos:
| anan+1 |

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n
Dividindo numerador e denominador por $ n^2 $:
R = limn to infty 3 n^2(n+1)^2

Resposta

O raio de convergência da série é 3.

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