Calcule as seguintes integrais:
integral0^pi6 cos ^2 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de cos^2 x no intervalo de 0 a pi6. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar uma identidade trigonométrica que simplifica o cos^2 x para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que relaciona o cosseno ao dobro do ângulo:
cos^2 x = 1 + cos(2x)2
Essa identidade é útil porque transforma cos^2 x em uma expressão mais simples para integrar.

Passo 3

Agora, substituímos cos^2 x na integral pela expressão da identidade:
integral0^pi6 cos^2 x , dx = integral0^pi6 1 + cos(2x)2 , dx
Isso simplifica a integral para algo mais fácil de calcular.

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
integral0^pi6 12 , dx + integral0^pi6 cos(2x)2 , dx
Agora, temos duas integrais mais simples para resolver individualmente.

Passo 5

Primeira integral:
integral0^pi6 12 , dx = 12 [ x ]0^pi6 = 12 ( pi6 - 0 ) = pi12
Segunda integral:
integral0^pi6 cos(2x)2 , dx = 12 [ sin(2x)2 ]0^pi6 = 14 ( sin(pi3) - sin(0) ) = 14 ( raiz32 - 0 ) = raiz38

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
pi12 + raiz38

Resposta

A integral definida de cos^2 x de 0 a pi6 é:
pi12 + raiz38

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