© A função f(x)=x^4-4 x^3-8 x^2+2 tem dois pontos de inflexão.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x)=x^4-4x^3-8x^2+2 e queremos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, os pontos onde a concavidade muda. O conteúdo é cálculo de derivadas até segunda ordem e análise de sinais.

Passo 2

Derivar a função: primeiro calculamos a derivada primeira e a segunda derivada.
f'(x)=4x^3-12x^2-16x
f''(x)=12x^2-24x-16
Aqui usamos a teoria de que pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0 e há troca de sinal.

Passo 3

Determinar os candidatos a ponto de inflexão resolvendo f''(x)=0:
12x^2-24x-16=0
Dividindo por 4:
3x^2-6x-4=0
Pela fórmula de Bhaskara:
x=6pmraiz36+486=6pm2raiz216=3pmraiz213

Passo 4

Verificar troca de sinal de f''(x): como f''(x) é uma quadrática com coeficiente de x^2 positivo (12), ela muda de sinal ao passar pelas raízes acima, confirmando que cada raiz é ponto de inflexão.

Passo 5

Calcular as ordenadas substituindo x1=3-raiz213 e x2=3+raiz213 em f(x). Usando o deslocamento u=x-1=pmraiz213, chega-se a:
f(x1)=-3269+8raiz21, f(x2)=-3269-8raiz21
Assim obtemos as coordenadas dos pontos de inflexão.

Resposta

Os pontos de inflexão são l(3-raiz213,,-3269+8raiz21r) e l(3+raiz213,,-3269-8raiz21r).

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