Calcule as seguintes integrais:
integral2^4 2 x^2-x+4x(x^2+4) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral definida:
integral2^4 2x^2 - x + 4x(x^2 + 4) , dx
Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na parte de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais (quando o numerador e o denominador são polinômios). Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração que está dentro da integral:
2x^2 - x + 4x(x^2 + 4)
A ideia é decompor essa fração em termos mais simples. Vamos supor que ela possa ser escrita como:
Ax + Bx + Cx^2 + 4
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum x(x^2 + 4) para eliminar as frações:
2x^2 - x + 4 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)x
Simplificando o lado direito:
2x^2 - x + 4 = A x^2 + 4A + Bx^2 + Cx
Juntando os termos semelhantes:
2x^2 - x + 4 = (A + B)x^2 + Cx + 4A

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios dos dois lados da equação:
  1. Para x^2:
A + B = 2
  1. Para x:
C = -1
  1. Para o termo constante:
4A = 4

Passo 5

Vamos resolver essas equações:
Primeiro, da terceira equação:
4A = 4 implies A = 1
Agora, da primeira equação:
1 + B = 2 implies B = 1
E já sabemos que:
C = -1
Então, os valores são A = 1, B = 1 e C = -1.

Passo 6

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
2x^2 - x + 4x(x^2 + 4) = 1x + x - 1x^2 + 4

Passo 7

Com a fração decomposta, a integral fica:
integral2^4 ( 1x + x - 1x^2 + 4 ) , dx = integral2^4 1x , dx + integral2^4 x - 1x^2 + 4 , dx
Vamos integrar cada parte separadamente.

Passo 8

Primeira integral:
integral 1x , dx = ln|x| + C
Segunda integral, vamos separar em duas partes:
integral xx^2 + 4 , dx - integral 1x^2 + 4 , dx
Para a primeira parte, fazemos uma substituição simples:
Deixe u = x^2 + 4, então du = 2x , dx ou $ \frac{du}{2} = x , dx $. Assim,
du2 = x , dx
Para a segunda parte, reconhecemos a forma da integral que envolve a função arco-tangente:
integral xx^2 + 4 , dx = 12 ln|x^2 + 4| + C

Passo 9

Agora, juntando tudo:
integral2^4 2x^2 - x + 4x(x^2 + 4) , dx = [ ln|x| + 12 ln|x^2 + 4| - 12 arctan(x2) ]2^4

Passo 10

Vamos calcular o valor dessa expressão nos limites de integração x = 4 e x = 2:
Para x = 4:
ln(4) + 12 ln(4^2 + 4) - 12 arctan(42) = ln(4) + 12 ln(20) - 12 arctan(2)
Para x = 2:
ln(2) + 12 ln(2^2 + 4) - 12 arctan(22) = ln(2) + 12 ln(8) - 12 arctan(1)

Passo 11

Subtraindo os valores de x = 4 e x = 2:
[ ln(4) + 12 ln(20) - 12 arctan(2) ] - [ ln(2) + 12 ln(8) - 12 arctan(1) ]
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
ln(42) + 12 ln(208) - 12 ( arctan(2) - arctan(1) )
Que fica:
ln(2) + 12 ln(52) - 12 ( arctan(2) - pi4 )

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
ln(2) + 12 ln(52) - 12 arctan(2) + pi8

Exercícios relacionados