Calcule as seguintes integrais:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral definida:
Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na parte de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais (quando o numerador e o denominador são polinômios). Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração que está dentro da integral:
A ideia é decompor essa fração em termos mais simples. Vamos supor que ela possa ser escrita como:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Simplificando o lado direito:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos polinômios dos dois lados da equação:
- Para
:
- Para
:
- Para o termo constante:
Passo 5
Vamos resolver essas equações:
Primeiro, da terceira equação:
Agora, da primeira equação:
E já sabemos que:
Então, os valores são
,
e
.
Passo 6
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 7
Com a fração decomposta, a integral fica:
Vamos integrar cada parte separadamente.
Passo 8
Primeira integral:
Segunda integral, vamos separar em duas partes:
Para a primeira parte, fazemos uma substituição simples:
Deixe
, então
ou $ \frac{du}{2} = x , dx $. Assim,
Para a segunda parte, reconhecemos a forma da integral que envolve a função arco-tangente:
Passo 9
Agora, juntando tudo:
Passo 10
Vamos calcular o valor dessa expressão nos limites de integração
e
:
Para
:
Para
:
Passo 11
Subtraindo os valores de
e
:
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
Que fica:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: