Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 raiz4-x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^1 raiz4 - x^2 , dx. Isso faz parte do cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções quadráticas. Para resolver isso, vamos usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica que facilita a integração de expressões envolvendo raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Notamos que 4 - x^2 se parece com a identidade trigonométrica 1 - sin^2theta = cos^2theta. Então, vamos fazer a substituição:
x = 2sintheta
Isso significa que:
dx = 2costheta , dtheta

Passo 3

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral raiz4 - x^2 , dx = integral raiz4 - (2sintheta)^2 cdot 2costheta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiz4 - 4sin^2theta = raiz4(1 - sin^2theta) = raiz4cos^2theta = 2costheta
Então, a integral fica:
integral 2costheta cdot 2costheta , dtheta = 4integral cos^2theta , dtheta

Passo 4

Agora, precisamos integrar cos^2theta. Usamos a identidade trigonométrica para simplificar:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Substituindo na integral:
4integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 2integral (1 + cos(2theta)) , dtheta
Integrando termo a termo:
2(theta + sin(2theta)2) + C = 2theta + sin(2theta) + C

Passo 5

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que x = 2sintheta, então:
theta = arcsin(x2)
E $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^{2}} = x\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} = x\sqrt{\frac{4 - x^{2}}{4}} = \frac{x\sqrt{4 - x^{2}}}{2}
sin(2theta) = 2sinthetacostheta = 2 cdot x2 cdot raiz1 - (x2)^2 = xraiz1 - x^24 = xraiz4 - x^24 = xraiz4 - x^22
2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x\sqrt{4 - x^{2}}}{2} + C
$$

Passo 6

Agora aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
[2arcsin(x2) + xraiz4 - x^22]0^1
Calculando para x = 1:
2arcsin(12) + 1 cdot raiz4 - 12 = 2(pi6) + raiz32 = pi3 + raiz32
E para x = 0:
2arcsin(0) + 0 cdot raiz4 - 02 = 0 + 0 = 0
Subtraindo:
(pi3 + raiz32) - 0 = pi3 + raiz32

Resposta

A integral integral0^1 raiz4 - x^2 , dx é igual a pi3 + raiz32.

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