Calcule as seguintes integrais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Isso faz parte do cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções quadráticas. Para resolver isso, vamos usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica que facilita a integração de expressões envolvendo raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Notamos que
se parece com a identidade trigonométrica
. Então, vamos fazer a substituição:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos integrar
. Usamos a identidade trigonométrica para simplificar:
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, então:
E $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^{2}} = x\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} = x\sqrt{\frac{4 - x^{2}}{4}} = \frac{x\sqrt{4 - x^{2}}}{2}
2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x\sqrt{4 - x^{2}}}{2} + C
$$
Passo 6
Agora aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Calculando para
:
E para
:
Subtraindo:
Resposta
A integral
é igual a
.