Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 t^2 e^t d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^1 t^2 e^t , dt. Esse exercício está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de Integração por Partes. Para resolver, vamos precisar identificar partes da função que iremos derivar e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Integração por Partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher qual parte da função será u e qual será dv. Geralmente, escolhemos u para ser a parte que fica mais simples quando derivada.
Vamos escolher:
u = t^2 e dv = e^t , dt

Passo 3

Agora, vamos derivar u e integrar dv:
du = 2t , dt
v = integral e^t , dt = e^t

Passo 4

Aplicando a fórmula da Integração por Partes:
integral t^2 e^t , dt = u cdot v - integral v cdot du = t^2 e^t - integral e^t cdot 2t , dt
Então, temos:
integral t^2 e^t , dt = t^2 e^t - 2 integral t e^t , dt

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral integral t e^t , dt. Vamos aplicar novamente a Integração por Partes, escolhendo:
u = t e dv = e^t , dt
Derivando e integrando:
du = dt
v = e^t

Passo 6

Aplicando a fórmula novamente:
integral t e^t , dt = u cdot v - integral v cdot du = t e^t - integral e^t , dt = t e^t - e^t

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
integral t^2 e^t , dt = t^2 e^t - 2 (t e^t - e^t) = t^2 e^t - 2t e^t + 2 e^t

Passo 8

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
[ t^2 e^t - 2t e^t + 2 e^t ]0^1
Substituindo t = 1:
1^2 e^1 - 2 cdot 1 cdot e^1 + 2 e^1 = e - 2e + 2e = e
Substituindo t = 0:
0^2 e^0 - 2 cdot 0 cdot e^0 + 2 e^0 = 0 - 0 + 2 = 2

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
e - 2

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