Calcule as seguintes integrais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de Integração por Partes. Para resolver, vamos precisar identificar partes da função que iremos derivar e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Integração por Partes, que é:
Precisamos escolher qual parte da função será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
para ser a parte que fica mais simples quando derivada.
Vamos escolher:
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da Integração por Partes:
Então, temos:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar novamente a Integração por Partes, escolhendo:
Derivando e integrando:
Passo 6
Aplicando a fórmula novamente:
Passo 7
Voltando à nossa expressão anterior:
Passo 8
Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
Substituindo
:
Substituindo
:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: