Considere a equação de Euler
x^2 y^prime prime+alpha x y^prime+beta y=0
onde alpha e beta são constantes reais.
Supondo que y=x^r. Encontre os valores de r1 e r2 para os quais y=c1 x^r1+c2 x^r2 é solução da equação de Bessel.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Euler que é assim:
x^2 y'' + alpha x y' + beta y = 0
A gente vai supor que a solução tem a forma $ y = x^{r} $, onde $ r $ é uma constante que a gente precisa descobrir. Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas de $ y $, substituir tudo na equação e resolver para $ r $.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas de $ y = x^{r} $.
A primeira derivada:
y = x^r
A segunda derivada:
y' = ddx (x^r) = r x^r-1

Passo 3

Agora, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação de Euler:
y
Substituindo:
y'

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
  1. $ x^{2} \cdot r (r - 1) x^{r-2} = r (r - 1) x^{r} $
  2. $ \alpha x \cdot r x^{r-1} = \alpha r x^{r} $
  3. $ \beta x^{r} = \beta x^{r} $
Então, a equação fica:
x^2 cdot r (r - 1) x^r-2 = r (r - 1) x^r
Podemos fatorar $ x^{r} $ (que não é zero) e obter a equação característica:
alpha x cdot r x^r-1 = alpha r x^r
Simplificando:
beta x^r = beta x^r

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática na forma:
r^2 + (alpha - 1) r + beta = 0
Para encontrar os valores de $ r $ (chamados de $ r_{1} $ e $ r_{2} $), vamos usar a fórmula de Bhaskara:
r
Onde, na nossa equação:
  • $ A = 1 $
  • $ B = \alpha - 1 $
  • $ C = \beta $
Aplicando a fórmula:
r1

Resposta

Os valores de $ r $ são:
r
e
r1 = 1 - alpha + raiz (alpha - 1)^2 - 4beta 2
Assim, a solução geral da equação de Euler é:
r2 = 1 - alpha - raiz (alpha - 1)^2 - 4beta 2
Onde $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes arbitrárias.

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