Considere a equação de Euler
onde
e
são constantes reais.
Supondo que
. Encontre os valores de
e
para os quais
é solução da equação de Bessel.
Supondo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Euler que é assim:
A gente vai supor que a solução tem a forma $ y = x^{r} $, onde $ r $ é uma constante que a gente precisa descobrir. Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas de $ y $, substituir tudo na equação e resolver para $ r $.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas de $ y = x^{r} $.
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação de Euler:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
- $ x^{2} \cdot r (r - 1) x^{r-2} = r (r - 1) x^{r} $
- $ \alpha x \cdot r x^{r-1} = \alpha r x^{r} $
- $ \beta x^{r} = \beta x^{r} $
Então, a equação fica:
Podemos fatorar $ x^{r} $ (que não é zero) e obter a equação característica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática na forma:
Para encontrar os valores de $ r $ (chamados de $ r_{1} $ e $ r_{2} $), vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde, na nossa equação:
- $ A = 1 $
- $ B = \alpha - 1 $
- $ C = \beta $
Aplicando a fórmula:
Resposta
Os valores de $ r $ são:
e
Assim, a solução geral da equação de Euler é:
Onde $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes arbitrárias.