Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 raizx^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^1raizx^2+1,dx. Esse é um problema de cálculo de integrais em que vamos usar substituição hiperbólica para simplificar a raiz.

Passo 2

Para lidar com raizx^2+1, fazemos a substituição x=sinh t. Assim, temos:
  1. dx=cosh t,dt
  2. raizx^2+1=raizsinh^2t+1=cosh t
  3. Quando x=0, t=arsinh(0)=0. Quando x=1, t=arsinh(1)=ln(1+raiz2).
    Dessa forma, a integral vira:
integral0^1raizx^2+1,dx=integral0^ln(1+raiz2)cosh tcdotcosh t,dt=integral0^ln(1+raiz2)cosh^2t,dt

Passo 3

Usamos a identidade cosh^2t=cosh 2t+12. Então:
integralcosh^2t,dt=integralcosh 2t+12,dt=12integralcosh 2t,dt+12integral dt=14sinh 2t+t2+C

Passo 4

Voltando aos limites em t:
  • Em t=ln(1+raiz2), temos sinh t=1 e cosh t=raiz2, logo sinh2t=2sinh tcosh t=2raiz2.
  • Substituindo na antiderivada:
14sinh2t+t2=14(2raiz2)+12ln(1+raiz2)=raiz22+12ln(1+raiz2)
Em t=0, a expressão vale zero.
Subtraindo, obtemos o valor da integral.

Passo 5

Concluímos que:
integral0^1raizx^2+1,dx=raiz22+12ln(1+raiz2)

Resposta

raiz22+12ln(1+raiz2)

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