Calcule as integrais a seguir.
integral tan ^2(2 x) sec ^5(2 x) d x

Passo 1

A questão pede para calcular integral tan^2(2x)sec^5(2x),dx. O conteúdo aqui é integração de potências de tangente e secante: vamos usar a identidade tan^2u=sec^2u-1, a substituição t=2x e a fórmula de redução para integralsec^n t,dt.

Passo 2

Primeiro, aplicamos tan^2(2x)=sec^2(2x)-1. Assim
integral tan^2(2x)sec^5(2x),dx = integrall(sec^2(2x)-1r)sec^5(2x),dx = integral sec^7(2x),dx - integral sec^5(2x),dx

Passo 3

Fazemos a mudança de variável t=2x, daí dt=2,dx ou dx=dt/2. A integral vira
12integrall(sec^7t - sec^5tr),dt

Passo 4

A fórmula de redução para integralsec^n t,dt é
integralsec^n t,dt = 1n-1sec^n-2ttan t + n-2n-1integralsec^n-2t,dt

Passo 5

Aplicamos para n=7:
integralsec^7t,dt = 16sec^5ttan t + 56integralsec^5t,dt,

Passo 6

e para n=5:
integralsec^5t,dt = 14sec^3ttan t + 34integralsec^3t,dt

Passo 7

Além disso,
integralsec^3t,dt = 12sec ttan t + 12lnl|sec t+tan tr|

Passo 8

Agora substituímos essas expressões em tfrac12[integralsec^7t - integralsec^5t], agrupamos termos, simplificamos constantes e voltamos a x via t=2x.

Resposta

sec^5(2x),tan(2x)12 - sec^3(2x),tan(2x)48 - sec(2x),tan(2x)32 - 132lnl|sec(2x)+tan(2x)r| + C

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