Reescreva a expressão
I=integral-1^1 integral0^x^2+4 integral0^1-x^2 d z d y d x+integral-1^1 integralx^2+4^5 integral0^5-y d z d y d x
como uma única integral tripla em coordenadas cartesianas, de três formas distintas.

Passo 1

O enunciado pede para juntar duas integrais iteradas em x,y,z numa só integral tripla sobre a região E em coordenadas cartesianas, encontrando três maneiras diferentes de escolher a ordem de integração.

Passo 2

Para entender E, observe que as duas integrais originais cobrem pontos (x,y,z) com
  • -1<= x<=1,
  • 0<= z<=1-x^2 quando 0<= y<= x^2+4,
  • 0<= z<=5-y quando x^2+4<= y<=5. Isto equivale a dizer que
E=(x,y,z):-1<= x<=1,;0<= y<=5,;0<= z<=min(1-x^2,5-y)

Passo 3

  1. Ordem dz,dy,dx: basta usar o teto min(1-x^2,5-y) como cota superior de z.
  2. Ordem dy,dz,dx: para cada x e z com 0<= z<=1-x^2, y varia de 0 até 5-z), que garante 5-y>= z.
  3. Ordem dx,dy,dz: note que globalmente 0<= z<=1 e, para cada z, para cumprir z<=1-x^2 temos -raiz1-z<= x<=raiz1-z, e y vai de 0 até 5-z).

Resposta

As três formas de escrever I=integral triplaE dV são:
I=integralx=-1^1integraly=0^5integralz=0^min(1-x^2,5-y)dz,dy,dx
I=integralx=-1^1integralz=0^1-x^2integraly=0^5-zdy,dz,dx
I=integralz=0^1integraly=0^5-zintegralx=-raiz1-z^raiz1-zdx,dy,dz

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