Determine a massa do sólido delimitado no primeiro octante simultaneamente pelas superfícies x^2+z^2=4, x+y=2 e x+2 y=6, sabendo que f(x, y, z)=12 z é a sua função densidade.

Passo 1

O enunciado pede a massa de um sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro x²+z²=4 e pelas duas planas x+y=2 e x+2y=6, sabendo que a densidade é f(x,y,z)=12z. O conteúdo que vamos usar é integral tripla para massa e mudança para coordenadas cilíndricas no plano x–z.

Passo 2

O sólido V é descrito por: 0≤x,0≤y,0≤z; x²+z²≤4; e, para cada (x,z) fixo, y varia entre os planos y=2−x e y=(6−x)/2. Observamos que em primeiro octante x∈[0,2], z∈[0,√(4−x²)] e y∈[2−x,3−x/2].

Passo 3

Para facilitar a integração sobre x e z, fazemos a troca para coordenadas cilíndricas no plano x–z: x=r
cosθ, z=r
sinθ, com r∈[0,2] e θ∈[0,π/2]. O elemento de volume vira dV = r
dr

dy e a densidade f = 12z =12
r
sinθ.

Passo 4

Escrevemos a integral tripla da massa:
M = integral triplaV f(x,y,z),dV = integralθ=0^π/2integralr=0^2integraly=2−rcosθ^3−tfracrcosθ2 12,rsinθ cdot r ,dy,dr,dθ

Passo 5

Integramos primeiro em y, pois é direto: o comprimento do intervalo em y é
(3−tfracrcosθ2)−(2−rcosθ)=1+tfracrcosθ2
Assim a integral simplifica para
M=12integral0^π/2integral0^2 r^2sinθl(1+tfracrcosθ2r) ,dr,dθ

Passo 6

Agora separamos a integral em duas partes:
M=12l[integral0^π/2sinθ,dθintegral0^2r^2,dr + tfrac12integral0^π/2sinθcosθ,dθintegral0^2r^3,drr]
Calculamos: ∫₀{2}r2dr=8/3, ∫₀{2}r3dr=4, ∫₀^{π/2}sinθdθ=1 e ∫₀^{π/2}sinθ
cosθdθ=1/2.

Passo 7

Substituindo esses resultados:
M=12l[tfrac83·1 + tfrac12·4·tfrac12r] =12l[tfrac83+1r]=12·tfrac113=44

Resposta

44

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