Determine a massa do sólido delimitado no primeiro octante simultaneamente pelas superfícies
e
, sabendo que
é a sua função densidade.
Passo 1
O enunciado pede a massa de um sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro x²+z²=4 e pelas duas planas x+y=2 e x+2y=6, sabendo que a densidade é f(x,y,z)=12z. O conteúdo que vamos usar é integral tripla para massa e mudança para coordenadas cilíndricas no plano x–z.
Passo 2
O sólido V é descrito por: 0≤x,0≤y,0≤z; x²+z²≤4; e, para cada (x,z) fixo, y varia entre os planos y=2−x e y=(6−x)/2. Observamos que em primeiro octante x∈[0,2], z∈[0,√(4−x²)] e y∈[2−x,3−x/2].
Passo 3
Para facilitar a integração sobre x e z, fazemos a troca para coordenadas cilíndricas no plano x–z: x=r
cosθ, z=r
sinθ, com r∈[0,2] e θ∈[0,π/2]. O elemento de volume vira dV = r
dr
dθ
dy e a densidade f = 12z =12
r
sinθ.
cosθ, z=r
sinθ, com r∈[0,2] e θ∈[0,π/2]. O elemento de volume vira dV = r
dr
dθ
dy e a densidade f = 12z =12
r
sinθ.
Passo 4
Escrevemos a integral tripla da massa:
Passo 5
Integramos primeiro em y, pois é direto: o comprimento do intervalo em y é
Assim a integral simplifica para
Passo 6
Agora separamos a integral em duas partes:
Calculamos: ∫₀{2}r2dr=8/3, ∫₀{2}r3dr=4, ∫₀^{π/2}sinθdθ=1 e ∫₀^{π/2}sinθ
cosθdθ=1/2.
Passo 7
Substituindo esses resultados:
Resposta
44