Calcule as seguintes integrais
integral0^1 x e^-a x d x;

Passo 1

Temos que calcular a integral definida integral0^1 x e^-a x ,dx. O conteúdo aqui é integração por partes, e vamos precisar da fórmula
integral u ,dv = u v - integral v ,du
que nos ajuda a transformar a integral original em um termo uv menos uma integral mais simples.

Passo 2

Escolhemos u = x e dv = e^-a x ,dx. Logo
du = dx
e
v = integral e^-a x ,dx = -1ae^-a x

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral0^1 x e^-a x ,dx = u v|0^1 - integral0^1 v ,du
Substituindo os valores:
u v|0^1 = -xae^-a x|0^1 = -1ae^-a,
-integral0^1 v ,du = -integral0^1 l(-1ae^-a xr)dx = 1aintegral0^1 e^-a x ,dx

Passo 4

Agora basta calcular a integral remanescente:
integral0^1 e^-a x ,dx = -1ae^-a x|0^1 = 1a(1 - e^-a)
Multiplicando por 1a:
1aintegral0^1 e^-a x ,dx = 1a^2(1 - e^-a)
Somando com o primeiro termo, obtemos
-1ae^-a + 1a^2(1 - e^-a) = 1 - e^-a(1 + a)a^2

Resposta

1 - e^-a(1 + a)a^2

Exercícios relacionados