Determine se a seqüência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
1raizn^2+1-n

Passo 1

A questão pede para estudar a sequência an=1raizn^2+1-n. O conteúdo envolvido é limite de sequência real e a técnica que vamos usar é racionalização de expressões envolvendo raiz.

Passo 2

Vamos racionalizar o denominador. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raizn^2+1+n:
an=1raizn^2+1-ncdotraizn^2+1+nraizn^2+1+n=raizn^2+1+n(raizn^2+1)^2-n^2=raizn^2+1+n

Passo 3

Agora analisamos o comportamento de an=raizn^2+1+n quando ntoinfty. Note que raizn^2+1=nraiz1+tfrac1n^2approx nl(1+tfrac12n^2r)=n+tfrac12n. Logo
an=raizn^2+1+napprox n+tfrac12n+n=2n+tfrac12n,
o que cresce sem limite. Portanto anto+infty.

Resposta

A sequência diverge, isto é, limntoinftyan=+infty.

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