Determine a área da região limitada no plano R subset R^2, a qual é delimitada pelas curvas y^3=x, y=1 e x=27. Apresente o esboço dessa região R no plano R^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região no plano que é limitada pelas curvas $ y^{3} = x $, $ y = 1 $ e $ x = 27 $. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente o conceito de integração para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  1. Curva $ y^{3} = x $: Essa é uma função que relaciona $ y $ com $ x $. Podemos reescrever como $ x = y^{3} $, o que significa que para cada valor de $ y $, $ x $ é o cubo de $ y $.
  2. Linha $ y = 1 $: É uma linha horizontal onde $ y $ sempre vale 1, independente de $ x $.
  3. Linha $ x = 27 $: É uma linha vertical onde $ x $ sempre vale 27, independente de $ y $.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para entender melhor os limites da região:
  • Interseção de $ y^{3} = x $ e $ y = 1 $:
    Substituindo $ y = 1 $ na primeira equação, temos:
    y^3 = x
    Então, o ponto de interseção é $ (1, 1) $.
  • Interseção de $ y^{3} = x $ e $ x = 27 $:
    Substituindo $ x = 27 $ na primeira equação, temos:
    y = 1
    Então, o ponto de interseção é $ (27, 3) $.
  • Interseção de $ y = 1 $ e $ x = 27 $:
    Esse ponto é simplesmente $ (27, 1) $.

Passo 4

Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos visualizar que a região está limitada entre $ y = 1 $ e $ y = 3 $, e de $ x = y^{3} $ até $ x = 27 $.
Para encontrar a área dessa região, vamos integrar a diferença entre as funções que definem $ x $ em termos de $ y $.

Passo 5

A fórmula para a área $ A $ entre duas curvas $ x = f(y) $ e $ x = g(y) $ de $ y = a $ a $ y = b $ é:
A
No nosso caso:
  • $ f(y) = y^{3} $ (a curva $ y^{3} = x $)
  • $ g(y) = 27 $ (a linha $ x = 27 $)
  • $ a = 1 $, $ b = 3 $

Passo 6

Vamos substituir na fórmula:
A = integral1^3 [27 - y^3] , dy
Agora, precisamos calcular essa integral.

Passo 7

Calculando a integral:
A = integral1^3 27 , dy - integral1^3 y^3 , dy
Calculando cada parte separadamente:
$$
\int 27 , dy = 27y $$
integral 27 , dy = 27y

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
A = [27y]1^3 - [y^44]1^3
Calculando cada parte:
27(3) - 27(1) = 81 - 27 = 54
3^44 - 1^44 = 814 - 14 = 804 = 20

Passo 9

Subtraindo as partes:
A = 54 - 20 = 34

Resposta

A área da região limitada pelas curvas $ y^{3} = x $, $ y = 1 $ e $ x = 27 $ é 34 unidades quadradas.

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