Determine a área da região limitada no plano
, a qual é delimitada pelas curvas
e
. Apresente o esboço dessa região
no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região no plano que é limitada pelas curvas $ y^{3} = x $, $ y = 1 $ e $ x = 27 $. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente o conceito de integração para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
-
Curva $ y^{3} = x $: Essa é uma função que relaciona $ y $ com $ x $. Podemos reescrever como $ x = y^{3} $, o que significa que para cada valor de $ y $, $ x $ é o cubo de $ y $.
-
Linha $ y = 1 $: É uma linha horizontal onde $ y $ sempre vale 1, independente de $ x $.
-
Linha $ x = 27 $: É uma linha vertical onde $ x $ sempre vale 27, independente de $ y $.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para entender melhor os limites da região:
-
Interseção de $ y^{3} = x $ e $ y = 1 $:
Substituindo $ y = 1 $ na primeira equação, temos:Então, o ponto de interseção é $ (1, 1) $. -
Interseção de $ y^{3} = x $ e $ x = 27 $:
Substituindo $ x = 27 $ na primeira equação, temos:Então, o ponto de interseção é $ (27, 3) $. -
Interseção de $ y = 1 $ e $ x = 27 $:
Esse ponto é simplesmente $ (27, 1) $.
Passo 4
Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos visualizar que a região está limitada entre $ y = 1 $ e $ y = 3 $, e de $ x = y^{3} $ até $ x = 27 $.
Para encontrar a área dessa região, vamos integrar a diferença entre as funções que definem $ x $ em termos de $ y $.
Passo 5
A fórmula para a área $ A $ entre duas curvas $ x = f(y) $ e $ x = g(y) $ de $ y = a $ a $ y = b $ é:
No nosso caso:
- $ f(y) = y^{3} $ (a curva $ y^{3} = x $)
- $ g(y) = 27 $ (a linha $ x = 27 $)
- $ a = 1 $, $ b = 3 $
Passo 6
Vamos substituir na fórmula:
Agora, precisamos calcular essa integral.
Passo 7
Calculando a integral:
Calculando cada parte separadamente:
$$
\int 27 , dy = 27y $$
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:
Passo 9
Subtraindo as partes:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas $ y^{3} = x $, $ y = 1 $ e $ x = 27 $ é 34 unidades quadradas.