Determine se a seqüência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
(1+xn)^n (para todo x)

Passo 1

Temos a sequência an = l(1 + tfracxnr)^n. O conteúdo aqui é limite de sequências exponenciais, e vamos usar a ideia de aplicar logaritmo para simplificar.

Passo 2

Definimos bn = ln(an). Assim,
bn = lnl( (1 + tfracxn)^n r) = n lnl(1 + tfracxnr)
Para encontrar limntoinfty bn, note que se un = tfracxn, então un to 0 e
limntoinfty bn = limntoinfty n ln(1 + un) = limntoinfty x cdot ln(1 + un)un = x cdot 1 = x,

Passo 3

pois usamos o fato de que limuto 0 tfracln(1+u)u = 1.
Como bn = ln(an) converge para x, temos
limntoinfty an = expl(limntoinfty bnr) = e^x

Resposta

A sequência converge e seu limite é e^x.

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