Calcule as seguintes integrais
integral0^1 integral0^x integral0^x+y(x+y+z) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral0^1integral0^xintegral0^x+y(x+y+z),dz,dy,dx. Esse problema envolve integrais iteradas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos fazer a integração em z, depois em y e finalmente em x, usando propriedades de polinômios e, quando conveniente, substituição de variável.

Passo 2

Integração em z:
integral0^x+y(x+y+z),dz = [(x+y)z + z^22]0^x+y = (x+y)^2 + (x+y)^22 = 32(x+y)^2
Substituindo no integral original, sobra integral0^1integral0^x32(x+y)^2,dy,dx.

Passo 3

Integração em y:
integral0^x(x+y)^2,dy = [(x+y)^33]0^x = (2x)^3 - x^33 = 7x^33
Multiplicando por tfrac32, obtemos 32cdot7x^33 = 72x^3. Agora resta integral0^172x^3,dx.

Passo 4

Integração em x:
integral0^172x^3,dx = 72 cdot x^44 |0^1 = 78

Resposta

dfrac78

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